»►Índice General»►Página 1»►Página 2»►Página 3»►Página 4»►Página 5»►Página 6

Lección 10: DESCUENTO RACIONAL:EJERCICIOS

 

Lección 10: DESCUENTO RACIONAL:EJERCICIOS  1

Lección 11: Descuento compuesto  2

Lección 12: Repaso de los tres tipos de descuento  3

Lección 13: Descuento compuesto: Ejercicios  5

Lección 14: Rentas financieras  7

Lección 15: Renta constante temporal pospagable (I)  8

Lección 16: Renta temporal constante pospagable (II)  10

Lección 17: Renta constante temporal prepagable (I)  10

Lección 18: Renta temporal constante prepagable (II)  13

Lección 19: Renta perpetua constante  13

 

Lección 10: DESCUENTO RACIONAL:EJERCICIOS

Ejercicio 1: Calcular el descuento por anticipar un capital de 500.000 ptas. por 4 meses a un tipo de descuento del 12%; a ) aplicando el descuento racional, b) aplicando el descuento comercial.

Ejercicio 2: Se ha descontado un capital de 1.000.000 ptas. por 3 meses, y los intereses de descuento han ascendido a 40.000 ptas. Calcular el tipo de interés aplicado (descuento racional).

Ejercicio 3:Se descuentan 200.000 ptas. al 12% y los intereses de descuento ascienden a 15.000 ptas. Calcular el plazo del descuento (descuento racional).

Ejercicio 4: Los intereses de descuento de anticipar un capital por 8 meses, al 10%, ascienden a 120.000. Calcular el importe del capital inicial (descuento racional).

Ejercicio 5: Se descuentan 2.000.000 ptas. por un plazo de 4 meses, a un tipo del 10% (descuento racional). Calcular que tipo habría que aplicar si se utilizara el descuento comercial, para que el resultado fuera el mismo. 

 

SOLUCIONES

Ejercicio 1:

a) Aplicando el descuento racional: D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t)

x

Luego, D = ( 500.000 * 0,12 * 0,333 ) / (1 + 0,12 * 0,333)

Luego, D = 19.212 ptas.

x

b) Aplicando el descuento comercial: D =  Co * d * t

x

Luego, D = 500.000 * 0,12 * 0,333

Luego, D = 19.980 ptas.

 

Ejercicio 2:

La formula aplicada ha sido D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t)

x

Luego, 40.000 = (1.000.000 * d *0,25 ) / (1 + d * 0,25)

Luego, 40.000 = (250.000 * d) / (1 + d * 0,25)

Luego, 40.000 + 10.000 * d = 250.000 * d

Luego, d = 40.000 / 240.000

Luego, d = 0,1666.

x

Por lo tanto, el tipo de descuento aplicado es el 16,66%

 

Ejercicio 3:

La formula aplicada ha sido D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t)

x

Luego, 15.000 = (200.000 * 0,12 * t ) / (1 + 0,12 * t)

Luego, 15.000 = (24.000 * t) / (1 + 0,12 * t)

Luego, 15.000 + 1.800 * t = 24.000 * t

Luego, t = 15.000 / 22.200

Luego, t = 0,67567

x

Por lo tanto, el plazo de descuento ha sido 0,67567 años, o lo que es lo mismo, 8,1 meses.

 

Ejercicio 4:

La formula aplicada ha sido D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t)

x

Luego, 120.000 = (Co * 0,10 * 0,666 ) / (1 + 0,10 * 0,666)

Luego, 120.000 = (Co * 0,0666) / 1,06666

Luego, Co = 120.000 * 1,06666 / 0,0666

Luego, Co = 1.920.000 ptas.

 

Ejercicio 5:

Primero vamos a calcular a cuanto ascienden los intereses de descuento aplicando la fórmula del descuento racional D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t)

x

Luego, D = ( 2.000.000 * 0,1 * 0,333 ) / (1 + 0,1 * 0,333) 

Luego, D = 64.516 ptas. 

x

Una vez calculado los intereses de descuento, tengo que ver que tipo de interés tendría que aplicar en el descuento comercial para obtener el mismo resultado

x

La fórmula del descuento comercial D = Co * d * t

xx

Luego, 64.516 = 2.000.000 * d * 0,333 

Luego, d = 64.516 / 666.666 

Luego, d = 0,096774 

x

Por lo tanto, el tipo de interés que habría que aplicar en descuento comercial sería el del 9,6774%. 

x

Dado que, para un mismo tipo de interés, el importe de los intereses del descuento comercial son mayores que los del racional. Para obtener el mismo resultado, el tipo de interés del descuento comercial tendrá que ser menor.

 

Lección 11: Descuento compuesto


Clase anterior

x

D = Co * (1 - (1 + d) ^ -t ) 

x

El signo " ^ " significa "elevado a". Recordemos que "(1+d)^-t" es lo mismo que "1/(1+d)^t"

" D " son los intereses de descuento

" Co " es el capital inicial (en el momento t=0)

" d " es la tasa de descuento que se aplica

" t " es el tiempo que dura la inversión

x

El capital final queda definido de la siguiente manera:

x

 

Cf = Co - D

 

Cf = Co - ( Co * (1 - (1 + d) ^ -t ))

(sustituyendo "D")

Cf = Co * (1 - (1 - (1 + d) ^ -t ))

(sacando factor común Co)

x

 

luego, Cf = Co * ( 1 + d ) ^ -t

 

xx

x

Veamos un ejemplo: Calcular los intereses de descuento por anticipar un capital de 900.000 ptas., durante 8 meses, a un tipo de interés del 14%.

x

Aplicamos la fórmula D = Co * (1 - ((1 + d) ^ -t ))

x

luego,  D = 900.000 * (1 - (1,14) ^ -0,666)

(0,666 es el equivalente anual de 8 meses)

luego,  D = 900.000 * (1 - 0,9164)

luego,  D = 75.281 ptas.

x

Calculamos ahora el capital final, utilizando dos procedimientos:

x

a) Aplicando la fórmula Cf = Co - D (capital final es igual al capital inicial menos los intereses de descuento):

x

luego, Cf = 900.000 - 75.281

luego, Cf = 824.719 ptas.

x

b) Aplicando la fórmula Cf = Co * ( 1 + d ) ^ -t

x

luego, Cf = 900.000 * (1,14) ^ -0,666

luego, Cf = 1.200.000 * 0,9164

luego, Cf = 824.719 ptas.

x

La ley de descuento compuesto  es inversa de la ley de capitalización compuesta: si descontamos un capital utilizando el descuento compuesto, y el importe obtenido lo capitalizamos (capitalización compuesta), aplicando el mismo tipo de interés y plazo, obtenemos el importe inicial.

Veamos un ejemplo: Descontar un capital de 2.000.000 ptas., por un plazo de 6 meses al 15%, y el importe resultante capitalizarlo (capitalización compuesta) por el mismo plazo y con el mismo tipo de interés.

x

Primero descuento aplicando la fórmula Cf = Co * ( 1 + d ) ^ -t

x

luego, Cf = 2.000.000 * (1 + 0,15) ^ -0,5

luego, Cf = 1.865.010 ptas.

x

Una vez obtenido el capital descontado, lo capitalizo aplicando la fórmula de capitalización compuesta Cf = Co * ( 1 + i) ^ t

(El capital descontado, 1.865.010 ptas, pasa a ser ahora "Co")

x

luego, Cf = 1.865.010 * (1 + 0,15) ^ 0,5

luego, Cf = 1.865.010 * 1,072381

luego, Cf = 2.000.000 ptas.

x

Vemos que se ha cumplido la ley de equivalencia, y que hemos vuelto al capital de partida

x

El descuento compuesto, al igual que la capitalización compuesta se puede utilizar tanto en operaciones de corto plazo (menos de 1 año), como de medio y largo plazo.

En este sentido contrasta con el descuento comercial y el racional, que sólo se utilizan en operaciones a corto plazo.  

 

Lección 12: Repaso de los tres tipos de descuento

Hemos estudiado tres leyes de descuento:

x

 

 

a) Ley de descuento comercial 

x

 

 

 

Intereses de descuento

D = Co * d * t

 

Capital final 

Cf = Co * ( 1 - ( d * t ))

x

 

 

b) Ley de descuento racional 

x

 

 

 

Intereses de descuento

D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t)

 

Capital final 

Cf = Co / (1 + d * t)

x

 

 

c) Ley de descuento compuesto 

x

 

 

 

Intereses de descuento

D = Co * (1 - (1 + d) ^ -t )

 

Capital final 

Cf = Co * ( 1 + d ) ^ -t

x

 

 

La ley de descuento comercial y racional sólo se utilizan en operaciones a corto plazo (menos de 12 meses). Mientras que la ley de descuento compuesto se puede utilizar en operaciones de corto y largo plazo.

La ley de descuento racional es inversa de la ley de capitalización simple, mientras que la ley de descuento compuesto es la inversa de la ley de capitalización compuesta. Es decir, que si se descuenta un capital, y el importe resultante se capitaliza al mismo plazo y tipo, se vuelve al capital inicial.

La ley de descuento comercial no cumple esta propiedad.

El resultado de aplicar estas leyes es el siguiente: 

x

 

 

La mayor carga de intereses

Descuento comercial 

x

 

La 2ª mayor carga de intereses

Depende del plazo

x

 

 

 

Operaciones < 1 año (*)

Descuento racional

 

Operaciones > 1 año (*)

Descuento compuesto

x

 

La menor carga de intereses

 

x

 

 

 

Operaciones < 1 año (*)

Descuento compuesto

 

Operaciones > 1 año (*)

Descuento racional

xxx

 

x

(*) El plazo de 1 año es en el caso de que se aplique un mismo tipo de interés anual. Si el mismo tipo de interés que se aplica es trimestral, entonces el plazo sería 3 meses, y así sucesivamente.

xx

Veamos un ejemplo: Calcular el importe de los intereses de descontar un capital de 1.000.000 ptas., a un tipo de interés del 16%, por un plazo de 8 meses.

a) Ley de descuento comercial 

x

 

 

 

Intereses de descuento

D = Co * d * t

 

Luego, 

D = 1.000.000 * 0,16 * 0,66

 

Luego, 

D = 106.007 ptas.

x

 

 

b) Ley de descuento racional 

x

 

 

 

Intereses de descuento

D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t)

 

Luego, 

D = (1.000.000*0,16*0,66)/(1+0,16*0,66)

 

Luego, 

D = 96.386 ptas.

x

 

 

c) Ley de descuento compuesto 

x

 

 

 

Intereses de descuento

D = Co * (1 - (1 + d) ^ -t )

 

Luego, 

Cf = 1.000.000*(1-(1+0,16)^-0,66)

 

Luego, 

Cf = 94.209 ptas.

x

 

 

¿ Cual de estas leyes se utiliza ?. Se puede utilizar cualquiera, con la limitación que hemos señalado antes entre operaciones de corto y medio-largo plazo. Lo importante para el cliente de una entidad financiera es conocer el importe de los intereses de descuento según la ley elegida, y decidir si la operación planteada le resulta aceptable o no.

 

Lección 13: Descuento compuesto: Ejercicios

Ejercicio 1: Calcular los intereses de descuento por anticipar un capital de 2.500.000 ptas. por 4 meses a un tipo de descuento del 12%; aplicando a ) descuento comercial, b) descuento racional. c) descuento compuesto

Ejercicio 2: Calcular la misma operación anterior al plazo de 1 año.

Ejercicio 3: Calcular la misma operación anterior a un plazo de 1 año y medio.

Ejercicio 4: En el ejercicio 1º, calcular los tipos de interés que habría que aplicar en el descuento racional y en el compuesto para obtener el mismo resultado que en el descuento comercial.

Ejercicio 5: Los intereses de descontar 2.000.000 ptas. a un tipo del 10% ascienden a 150.000 ptas. Calcular el plazo de descuento si se ha aplicado la ley de a) descuento comercial, b) descuento racional, c) descuento compuesto. 

SOLUCIONES

Ejercicio 1:

a) Ley de descuento comercial 

x

 

 

 

Intereses de descuento

D = Co * d * t

 

Luego, 

D = 2.500.000 * 0,12 * 0,33

 

Luego, 

D = 100.000 ptas.

x

 

 

b) Ley de descuento racional 

x

 

 

 

Intereses de descuento

D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t)

 

Luego, 

D = (2.500.000*0,12*0,33)/(1+0,12*0,33)

 

Luego, 

D = 96.154 ptas.

x

 

 

c) Ley de descuento compuesto 

x

 

 

 

Intereses de descuento

D = Co * (1 - (1 + d) ^ -t )

 

Luego, 

Cf = 2.500.000*(1-(1+0,12)^-0,33)

 

Luego, 

Cf = 92.679 ptas.

Al ser la operación a menos de 1 año, los intereses del descuento racional son superiores a los del descuento compuesto.

Ejercicio 2:

a) Ley de descuento comercial 

x

 

 

 

Intereses de descuento

D = Co * d * t

 

Luego, 

D = 2.500.000 * 0,12 * 1

 

Luego, 

D = 300.000 ptas.

x

 

 

b) Ley de descuento racional 

x

 

 

 

Intereses de descuento

D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t)

 

Luego, 

D = (2.500.000*0,12*1)/(1+0,12*1)

 

Luego, 

D = 267.857 ptas.

x

 

 

c) Ley de descuento compuesto 

x

 

 

 

Intereses de descuento

D = Co * (1 - (1 + d) ^ -t )

 

Luego, 

Cf = 2.500.000*(1-(1+0,12)^-1)

 

Luego, 

Cf = 267.857 ptas.

Al ser la operación a 1 año, coinciden los intereses del descuento racional y los del descuento compuesto.

Ejercicio 3:

a) Ley de descuento comercial 

x

 

 

 

Intereses de descuento

D = Co * d * t

 

Luego, 

D = 2.500.000 * 0,12 * 1,5

 

Luego, 

D = 450.000 ptas.

x

 

 

b) Ley de descuento racional 

x

 

 

 

Intereses de descuento

D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t)

 

Luego, 

D = (2.500.000*0,12*1,5)/(1+0,12*1,5)

 

Luego, 

D = 381.356 ptas.

x

 

 

c) Ley de descuento compuesto 

x

 

 

 

Intereses de descuento

D = Co * (1 - (1 + d) ^ -t )

 

Luego, 

Cf = 2.500.000*(1-(1+0,12)^-1,5)

 

Luego, 

Cf = 390.823 ptas.

Al ser la operación a más de 1 año, los intereses del descuento compuesto son superiores a los del descuento racional.

Ejercicio 4:

En el ejercicio 1, aplicando la ley de descuento comercial, los intereses de descuento han ascendido a 100.000 ptas. El tipo de interés ha sido del 12%

x

a) Aplicando la ley de descuento racional

x

Intereses de descuento D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t)

Luego, 100.000 = (2.500.000*d*0,33)/(1+d*0,33)

Luego, 100.000 = 833.333,3*d/(1+d*0,33)

Luego, 100.000+33.333*d = 833.333,3*d

Luego, d=0,125

x

Por lo tanto, el tipo de interés que habría que aplicar con la ley de descuento racional para obtener el mismo importe de intereses de descuento que con la ley de descuento comercial, sería del 12,5%

x

b) Aplicando la ley de descuento compuesto

x

Intereses de descuento D = Co * (1 - (1 + d) ^ -t )

Luego, 100.000 = 2.500.000*(1-(1+d)^-0,33)

Luego, 100.000/2.500.000 = 1-(1+d)^-0,33

Luego, 0,04 = (1-(1+d)^-0,33)

Luego, (1+d)^-0,33 = 0,96

Luego, 1+d = 1,13028

Luego, d = 0,13028

x

Por lo tanto, el tipo de interés que habría que aplicar con la ley de descuento compuesto para obtener el mismo importe de intereses de descuento que con la ley de descuento comercial, sería del 13,028%

Ejercicio 5:

a) Ley de descuento comercial 

x

 

 

 

Intereses de descuento

D = Co * d * t

 

Luego, 

150.000 = 2.000.000 * 0,10 * t

 

Luego, 

t = 0,75

x

 

 

 

Por lo tanto, el plazo sería de 0,75 años, o lo que es lo mismo, 9 meses

 

 

 

b) Ley de descuento racional 

x

 

 

 

Intereses de descuento

D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t)

 

Luego, 

150.000=(2.000.000*0,10*t)/(1+0,10*t)

 

Luego, 

150.000*(1+0,10*t)=200.000*t

 

Luego, 

150.000+15.000*t=200.000*t

 

Luego, 

150.000=185.000*t

 

Luego, 

t = 0,8108

x

 

 

 

Por lo tanto, el plazo sería de 0,8108 años, o sea, 9,7 meses

x

 

 

c) Ley de descuento compuesto 

x

 

 

 

Intereses de descuento

D = Co * (1 - (1 + d) ^ -t )

 

Luego, 

150.000=2.000.000*(1-(1+0,10)^-t)

 

Luego, 

150.000=2.000.000*(1-(1,1)^-t)

 

Luego, 

150.000/2.000.000=1-(1,1)^-t

 

Luego, 

0,075=1-(1,1)^-t

 

Luego, 

(1,1)^-t=0,925

 

Luego, 

(1,1)^t =1/0,925

 

Luego, 

(1,1)^t =1,08108

 

Luego, 

ln (1,1)^t =ln 1,08108 (aplicamos logaritmos neperianos)

 

Luego, 

t= ln 1,08108 / ln 1,1

 

Luego, 

t = 0,8180

x

 

 

x

Por lo tanto, el plazo sería de 0,8180 años, o sea, 9,8 meses

 

 

Lección 14: Rentas financieras

Una renta financiera es una sucesión de capitales distribuidos a lo largo de un periodo temporal. 

Por ejemplo, un contrato de alquiler de un apartamento, por un periodo de 5 años, con pagos anuales de 100.000 ptas.

En una renta financiera distinguiremos los siguientes elementos:

a) Termino de la renta: importe del capital que se paga (o se cobra) en cada momento (en el ejemplo, las 100.000 ptas. de alquiler mensual).

b) Periodo de maduración: cada sub-periodo en el que se realizan los cobros o pagos (en el ejemplo, es el mes).

c) Duración de la renta: el periodo total de vigencia (en el ejemplo, 5 años).

En la renta financiera se denomina "valor capital", a un importe, en un momento dado, equivalente al total de la renta:

En el ejemplo anterior (pago mensual de 100.000 ptas. durante un periodo de 5 años), aplicando leyes financieras, puedo calcular que esta renta es equivalente a un sólo pago de 3.000.000 ptas. en el momento actual. 

El "valor capital" de una renta se puedo calcular en cualquier momento: momento inicial, final,  momento intermedio, etc. Los importes calculados varían según el momento, pero son equivalentes (si se aplican leyes de descuento o capitalización para llevarlos a un mismo periodo, coinciden). 

Cuando se calcula en el momento inicial, se denomina "valor actual".

Cuando se calcula en el momento final, se denomina "valor final".

Dos rentas son equivalente cuando sus valores de capital son los mismos en cualquier momento en que se calculen:

Por ejemplo, si el valor capital del alquiler mensual de 100.000 durante 5 años, coincide en cualquier momento con el de una renta de 240.000 ptas. trimestral durante 7 años, diríamos que ambas rentas son equivalentes.

Las rentas cumplen las siguientes propiedades:

a) Proporcionalidad del "valor capital": el valor capital de una renta de 200.000 ptas., mensual, durante 5 años, es el doble del de una renta de 100.000 ptas., mensual, por el mismo periodo.

b) Adición de rentas: una renta se puede descomponer en varias sub-rentas, siendo la suma del "valor capital" de las sub-rentas igual al de la renta. (p.e. el contrato de alquiler de 5 años, se descompone en cinco contratos anuales). 

Las rentas se pueden clasificar:

Según la duración de la renta:

Temporales: duración finita

Perpetuas: no tienen fin 

Según el importe del término de la renta:

Constantes: siempre es la misma cantidad

Variable: la cantidad puede variar de un periodo a otro 

Según los subperiodos en los que se divide:

Discreta: número de periodos finitos

Continua: flujo continuo de capital

Periodica: todos los subperiodos tienen la misma duración

No periódicas: la duración de los subperiodos varia

Según el momento del subperiodo en que se generan el cobro o el pago:

Prepagable: se genera al comienzo del subperiodo (por ejemplo, pago del alquiler a comienzo de cada mes)

Postpagable: se genera al final de cada subperiodo (por ejemplo, pagao del alquiler a final de cada mes)

 

Lección 15: Renta constante temporal pospagable (I)

Hemos definido como rentas constantes aquellas en las que los importes de capital (términos de la renta) son siempre iguales.

Dentro de las rentas constantes, vamos a distinguir las siguientes modalidades:

Renta temporal pospagable

Renta temporal prepagable

Renta perpetua pospagable

Renta perpetua prepagable

Renta diferida

Renta anticipada

Vamos a comenzar con el estudio de la renta temporal pospagable:

 

RENTA TEMPORAL POSPAGABLE

Es aquella de duración determinada, en la que los importes de capital se generan al final de cada sub-periodo (p.e. contrato de alquiler por 5 años, con pago del alquiler al final de cada mes).

Para ver como se calcula su valor ("valor capital") vamos a comenzar por el caso más sencillo: el importe de capital en cada periodo es de 1 peseta (renta unitaria). Es decir, tenemos una sucesión finita (de "n" periodos) de importes de 1 peseta.

Periodo 

1

2

3

.....

.....

.....

.....

n-2

n-1

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Importe (ptas)

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

Vamos a calcular su valor actual, que representaremos por Ao. Para ello tenemos que traer cada uno de los importes al momento actual. Aplicaremos la ley de descuento compuesto:

 Cf = Co * ( 1 + d ) ^ -t 

que es equivalente a:

Cf = Co / ( 1 + d ) ^ t 

Vamos a ir descontando cada importe:

Periodo 

Importe 

Importe descontado 

 

 

 

1

1

1 / ( 1 + i )

2

1

1 / ( 1 + i )^2

3

1

1 / ( 1 + i )^3

 .....

.....

.....

 .....

.....

.....

n-2

1

1 / ( 1 + i )^n-2

n-1

1

1 / ( 1 + i )^n-1

n

1

1 / ( 1 + i )^n

La suma de todos los importes descontados es el valor actual Ao. Si realizamos esta suma y simplificamos, llegamos a:

Ao = (1 - (1 + i)^-n)/ i 

Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta anual de 1 peseta, durante 7 años, con un tipo de interés del 16%:

 

Aplicamos la fórmula Ao = (1 - (1 + i)^-n)/ i 

 

luego,  Ao = (1 - (1 + 0,16)^-7)/0,16 

luego,  Ao = 0,6461/0,16 

luego,  Ao = 4,0386 ptas.

 

Luego el valor actual de esta renta es 4,04 ptas.

IMPORTANTE: plazo, tipo de interés e importes han de ir referidos a la misma base temporal. En este ejemplo, como los importes son anuales, hay que utilizar la base anual. Si, por ejemplo, los importes hubieran sido trimestrales, el tiempo y el tipo irían en base trimestral.

Para calcular el valor final de esta renta, que denominaremos Sf, hay que realizar el proceso inverso, es decir, capitalizar todos los importes y llevarlos al momento final. Para ello utilizaremos la ley de capitalización compuesta:

Cf = Co * ( 1 + i) ^ t

Veamos el ejemplo:

Periodo 

Importe 

Importe capitalizado

 

 

 

1

1

1 * ( 1 + i )^n-1

2

1

1 * ( 1 + i )^n-2

3

1

1 * ( 1 + i )^n-3

 .....

.....

.....

 .....

.....

.....

n-2

1

1 * ( 1 + i )^2

n-1

1

1 * ( 1 + i )^1

n

1

1

Sumando los distintos importes capitalizados y simplificando, llegamos a:

Sf = ((1 + i)^n - 1) / i 

Veamos un ejemplo: Calcular el valor final de una renta anual de 1 peseta, durante 7 años, con un tipo de interés del 16%:

 

Aplicamos la fórmula Sf = ((1 + i)^n - 1) / i  

 

luego,  Sf = ((1 + 0,16)^7 - 1) / 0,16 

luego,  Sf = 1,8262/0,16  

luego,  Sf = 11,4139 ptas.

 

Luego el valor final de esta renta es 11,4 ptas.

 

Podemos ver que relación existe entre el valor inicial Ao y el valor final Sf, y esto nos viene dado por la siguiente fórmula:

Sf = Ao (1 + i)^n

Veamos si se cumple en el ejemplo que estamos viendo:

 

Hemos visto que Ao = 4,0386 ptas.

y que Sf = 11,4139 ptas.

 

Luego 11,4139 = 4,0386* (i+0,16)^7

Luego 11,4139 = 4,0386*2,8262

Luego 11,4139 = 11,4139

 

Se cumple, por tanto, la relación

 

Lección 16: Renta temporal constante pospagable (II)

Una vez que hemos visto como se valora una renta unitaria, vamos a estudiar como se valora una renta de importes constantes.

Para ello vamos a aplicar una propiedad que dijimos que cumplían las rentas: la proporcionalidad. 

Si los términos de una renta son "x veces" mayores que los de otra, su valor capital será también "x veces" superior.

Por lo tanto, el valor de una renta, cuyos términos son de importe "C", será "C veces" mayor que el de una renta unitaria.

El valor actual "Vo" de una renta temporal de términos constantes de cuantía "C" será:

Vo = C * Ao

Por lo que:

 Vo = C * ((1 - (1 + i)^-n)/ i) 

Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta anual pospagable de 200.000 pesetas, durante 5 años, con un tipo de interés del 12%:

Aplicamos la fórmula Vo = C * ((1 - (1 + i)^-n)/ i) 

x

luego,  Vo = 200.000 * ( (1 - (1 + 0,12)^-5)/0,12)

luego,  Vo = 200.000 * 3,60477 

luego,  Vo = 720.955 ptas.

x

El valor actual de esta renta es 720.955 ptas.

Para calcular el valor final "Vn" seguimos el mismo razonamiento: el valor final de una renta de términos constantes "C", será "C veces" superior al de una renta unitaria

        Vn = C * Sf

        Por lo que:

         Vn = C * (((1 + i)^n - 1) / i)

Veamos un ejemplo: Calcular el valor final de la renta del ejemplo anterior

Aplicamos la fórmula Vn = C * (((1 + i)^n - 1) / i)  

x

luego,  Vn = 200.000 * ( ((1 + 0,12)^5 - 1) / 0,12)  

luego,  Vn = 200.000 * 6,3528  

luego,  Vn = 1.270.569 ptas.  

x

Luego el valor final de esta renta es 1.270.569 ptas.

x

Lección 17: Renta constante temporal prepagable (I)

 

La renta constante temporal prepagable es aquella de duración determinada, en la que los importes de capital se generan al comienzo de cada sub-periodo (p.e. contrato de alquiler por 5 años, con pago del alquiler al comienzo de cada mes).

 

Para ver como se calcula su valor capital vamos a comenzar, nuevamente, por estudiar el caso de la renta unitaria (importes de 1 pta. en cada periodo)

Periodo

1 2 3 ..... ..... ..... ..... n-2 n-1 n

 

Importe (ptas)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

 

Vamos a calcular su valor actual, que representaremos por Äo. Como vimos en el caso de la renta pospagable, se aplica la ley de descuento compuesto

.

Vamos descontando cada importe:

Periodo

Importe

Importe descontado

 

1 1 1

2 1 1 / ( 1 + i )

3 1 1 / ( 1 + i )^2

..... ..... .....
..... ..... .....

n-2 1 1 / ( 1 + i )^n-3

n-1 1 1 / ( 1 + i )^n-2

n 1 1 / ( 1 + i )^n-1

La suma de todos los importes descontados es el valor actual Äo. Si realizamos esta suma y simplificamos, llegamos a:

Äo = (1 + i) * ((1 - (1 + i)^-n)/ i)

Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta anual de 1 peseta, durante 4 años, con un tipo de interés anual del 16%:

 

Aplicamos la fórmula Äo = (1 + i) * ((1 - (1 + i)^-n)/ i)



l

luego, Äo = (1 + 0,16) * ((1 - (1 + 0,16)^-4) / 0,16)

 

luego, Ao = 1,16 * 2,7982

 

luego, Ao = 3,246 ptas.

 

Luego el valor actual de esta renta es 3,246 ptas.

IMPORTANTE: plazo, tipo de interés e importes han de ir referidos a la misma base temporal. En este ejemplo, como los importes son anuales, hay que utilizar la base anual

.

Este valor actual Äo guarda la siguiente relación con el valor actual Ao de una renta pospagable:

Äo = (1 + i) * Ao

Para demostrarlo, vamos a suponer que en el ejemplo anterior la renta era pospagable:

 

Aplicamos la fórmula Ao = (1 - (1 + i)^-n)/ i

 

luego, Ao = (1 - (1 + 0,16)^-4)/ 0,16

 

luego, Ao = 2,7982 ptas.

 

Hay que demostrar que Äo = (1 + i) * Ao

 

luego, Äo = 1,16 * 2,7983

 

luego, Äo = 3,246 ptas. (coincide con el valor que habíamos calculado)

 

Vemos, por tanto, como se cumple la relación

 

Para calcular el valor final de esta renta, que denominaremos S¨f, se utiliza la ley de capitalización compuesta. Empezamos analizando el caso de una renta unitaria:

 

Periodo

Importe

Importe capitalizado

 

1 1 1 * ( 1 + i )^n

2 1 1 * ( 1 + i )^n-1

3 1 1 * ( 1 + i )^n-2

..... ..... .....
..... ..... .....

n-2 1 1 * ( 1 + i )^3

n-1 1 1 * ( 1 + i )^2

n 1 1 * ( 1 + i )

Sumando los distintos importes capitalizados y simplificando, llegamos a:

S¨f = (1 + i) * (((1 + i)^n - 1) / i)

 

Veamos un ejemplo: Calcular el valor final de la renta del ejemplo anterior:

 

Aplicamos la fórmula S¨f = (1 + i) * (((1 + i)^n - 1) / i)

 

luego, S¨f = (1 + 0,16) * (((1 + 0,16)^4 - 1) / 0,16)

 

luego, Sf = 1,16 * 5,0664

 

luego, Sf = 5,877 ptas.

 

Luego el valor final de esta renta es 5,877 ptas.

 

La relación entre S¨f y el valor final de una renta pospagable Sf es la siguiente:

S¨f = (1 + i) * Sf

(Realizar la misma comprobación que hemos realizado con el valor incial)

 

Por otra parte, la relación entre el valor inical Aö y su valor final S¨f es:

S¨f = (1 + i)^n * Äo

 

Vamos a comprobarlo siguiendo el ejemplo que venimos utilizando:

 

Hemos visto que Äo = 3,246 ptas.

 

y que S¨f = 5,877 ptas.

 

Hay que demostrar que 5,877 = 3,246 * (i+0,16)^4

 

Luego 5,877 = 3,246 * 1,8106

 

Luego 5,877 = 5,877

 

Se cumple, por tanto, la relación

 

Lección 18: Renta temporal constante prepagable (II)

Una vez que hemos visto como se valora una renta unitaria, veremos como se valora una renta de importes constantes.

El valor actual "Vo" de una renta temporal prepagable de términos constantes de cuantía "C" será:

Vo = C * Äo

Por lo que:

 Vo = C * (1 + i) * ((1 - (1 + i)^-n)/ i) 

Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta semestral prepagable de 500.000 pesetas, durante 5 años, con un tipo de interés anual del 12%:

Como los importes son semestrales tendremos que utilizar la base semestral 

x

Tipo de interés semestral: 1 + i = (1 + i2)^2 

Luego, 1 + 0,12 = (1 + i2)^2  

Luego, i2 = 5,83%  

x

Una vez que tenemos el tipo de interés semestral, vamos a aplicar la fórmula del valor actual,  Vo = C * (1 + i2) * ((1 - (1 + i2)^-n)/ i2)

luego,  Vo = 500.000*(1 + 0,0583)*((1 - (1 + 0,0583)^-10)/0,0583) 

"n" es 10, ya que 5 años tienen 10 semestres (todo va en base semestral).

luego,  Vo = 3.926.151 ptas.

x

El valor actual de esta renta es de 3.926.151 ptas.

Para calcular el valor final "Vn"

        Vn = C * S¨f

        Por lo que:

         Vn = C * (1 + i) * (((1 + i)^n - 1) / i)

Veamos un ejemplo: Calcular el valor final de la renta del ejemplo anterior:

Aplicamos la fórmula Vn = C * (1 + i2) * (((1 + i2)^n - 1) / i2)  

x

luego,  Vn = 500.000*(1+0,0583)*(((1 + 0,0583)^10 - 1) / 0,0583)  

luego,  Vn = 500.000 * 13,8384  

luego,  Vn = 6.919.185 ptas.  

x

Luego el valor final de esta renta es 6.919.185 ptas.

 

Lección 19: Renta perpetua constante

La renta perpetua constante es aquella de duración infinita, en la que los importes de capital son siempre iguales (p.e. un título de deuda pública a perpetuidad a tipo fijo).

Al igual que las rentas temporales, las rentas perpetuas pueden ser pospagables (los importes se originan al final de cada subperiodo) o prepagables (se originan al principio de los subperiodos).

 

A) RENTAS PERPETUAS POSPAGABLES

Comenzaremos viendo el caso más sencillo, el de las rentas unitarias:

Periodo 

1

2

3

4

5

.....

.....

.....

.....

.....

xx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Importe (ptas)

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

Vamos a calcular su valor actual, que representaremos por APo. Vamos descontando cada importe:

Periodo 

Importe 

Importe descontado 

x

x

x

1

1

1 / ( 1 + i )

2

1

1 / ( 1 + i )^2

3

1

1 / ( 1 + i )^3

 4

1

1 / ( 1 + i )^4

 5

1

1 / ( 1 + i )^5

.....

1

1 / ( 1 + i )^....

.....

1

1 / ( 1 + i )^....

.....

1

1 / ( 1 + i )^....

La suma de todos los importes descontados es el valor actual APo. Si realizamos esta suma y simplificamos, llegamos a:

APo = 1 / i 

Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta perpetua anual pospagable de 1 peseta, con un tipo de interés anual del 16%:

Aplicamos la fórmula APo = 1 / i  

x

luego,  APo = 1 / 0,16 

luego,  APo = 6,25 ptas. 

Si en lugar de una renta unitaria, estamos analizando una renta de importe constante "C", entonces la fórmula del valor actual será:

Vo = C * APo = C / i 

Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta perpetua semestral pospagable de 1.000.000 ptas., con un tipo de interés anual del 10%:

Como los importes son semestrales tendremos que utilizar la base semestral 

x

Tipo de interés semestral: 1 + i = (1 + i2)^2 

Luego, 1 + 0,10 = (1 + i2)^2  

Luego, i2 = 4,88%  

x

Aplicamos ahora la fórmula de valor actual,  Vo = C / i

luego,  Vo = 1.000.000 / 0,0488 

luego,  Vo = 20.491.803 ptas. 

En las rentas perpetuas no se puede calcular valor final (ya que nunca finalizan).

 

B) RENTAS PERPETUAS PREPAGABLES

Calculamos el valor actual de una renta unitaria, que representaremos por ÄPo.

Periodo 

Importe 

Importe descontado 

x

x

x

1

1

1

2

1

1 / ( 1 + i )

3

1

1 / ( 1 + i )^2

 4

1

1 / ( 1 + i )^3

 5

1

1 / ( 1 + i )^4

.....

1

1 / ( 1 + i )^....

.....

1

1 / ( 1 + i )^....

.....

1

1 / ( 1 + i )^....

Si realizamos esta suma y simplificamos, llegamos a:

ÄPo = (1 + i) / i 

Veamos un ejemplo: Supongamos una renta perpetua anual prepagable de 1 peseta, con un tipo de interés anual del 16%:

Aplicamos la fórmula ÄPo = (1 + i) / i  

x

luego,  ÄPo = (1 + 0,16) / 0,16 

luego,  ÄPo = 7,25 ptas. 

Si la renta es de importe constante "C", entonces la fórmula del valor actual será:

Vo = C * ÄPo = C * (1 + i) / i 

Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta perpetua semestral prepagable de 1.000.000 ptas., con un tipo de interés anual del 10%:

Aplicamos la fórmula de valor actual,  Vo = C * (1 + i) / i 

luego,  Vo = 1.000.000 * 1,0488 / 0,0488 

luego,  Vo = 21.491.803 ptas. 

La relación entre el valor actual de una renta perpetua pospagable APo y el de una renta perpetua prepagable ÄPo es la siguiente:

ÄPo = (1 + i) * AP

Comprobar esta relación con el ejemplo de la renta unitaria.

»►Índice General»►Página 1»►Página 2»►Página 3»►Página 4»►Página 5»►Página 6