LECCION 1ª

Curso de

Matemáticas financieras

LECCION 1ª Valor Temporal del Dinero 2

LECCION 2ª La Capitalización Simple 2

Clase 3:Capitalización simple: Ejercicios. 3

Clase 4:Capitalización compuesta. 5

Clase 5:Capitalización compuesta vs capitalización simple 6

Clase 6: Capitalización compuesta: Ejercicios. 7

Clase 7: Descuento comercial 9

Clase 8:Descuento comercial: Ejercicios. 10

Clase 9: Descuento racional. 11

LECCION 1ª Valor Temporal del Dinero

El factor tiempo juega un papel decisivo a la hora de fijar el valor de un capital. No es lo mismo disponer de 1 millón de pesetas hoy que dentro de un año, ya que el dinero se va depreciando como consecuencia de la inflación.

Por lo tanto, 1 millón de pesetas en el momento actual será equivalente a 1 millón de pesetas más una cantidad adicional dentro de un año. Esta cantidad adicional es la que compensa la perdida de valor que sufre el dinero durante ese periodo.

Hay dos reglas básicas en matemáticas financieras:

· Ante dos capitales de igual cuantía en distintos momentos, se preferirá aquél que sea más cercano

· Ante dos capitales en el mismo momento pero de distinto importe, se preferirá aquel de importe más elevado

Para poder comparar dos capitales en distintos instantes, hay que hallar el equivalente de los mismos en un mimo momento, y para ello utilizaremos las formulas de matemática financiera.

Ejemplo: ¿Qué es preferible disponer de 2 millones de pesetas dentro de 1 año o de 4 millones dentro de 5 años?.

Para contestar a esta pregunta hay que calcular equivalentes de ambos importes en un mismo instante.

Así, por ejemplo, si aplicando las leyes financiera resulta que el primer importe equivale a 1,5 millones en el momento actual, y el segundo equivale a 1,4 millones, veremos que es preferible elegir la primera opción.

Hemos calculado los importes equivalentes en el momento actual, pero podríamos haber elegido cualquier otro instante (dentro de 1 año, dentro de 5 años, etc), y la elección habría sido la misma.

Las leyes financieras que nos permiten calcular el equivalente de un capital en un momento posterior, se llaman Leyes de Capitalización, mientras que aquellas que nos permiten calcular el equivalente de un capital en un momento anterior, se denominan Leyes de Descuento.

Estas leyes financieras nos permite también sumar o restar capitales en distintos momentos.

Ejemplo: Si vamos a recibir 1 millón de pesetas dentro de 6 meses y 2 millones dentro de 9 meses, no los podemos sumar directamente, sino que tendremos que hallar sus equivalente en un mismo instante (el momento actual, dentro de 6 meses, 9 meses, etc) y entonces si se podrán sumar.

LECCION 2ª La Capitalización Simple

La capitalización simple es una formula financiera que permite calcular el equivalente de un capital en un momento posterior. Es una ley que se utiliza exclusivamente en el corto plazo (periodos menores de 1 año), ya que para periodos más largos se utiliza la "Capitalización compuesta", que veremos en la siguiente lección.

· La formula que nos sirve para calcular los intereses que genera un capital es la siguientes:

I = Co * i * t

" I " son los intereses que se generan

" Co " es el capital inicial (en el momento t=0)

" i " es la tasa de interés que se aplica

" t " es el tiempo que dura la inversión

· Veamos un ejemplo: calcular los intereses que generan 5 millones de pesetas a un tipo del 15% durante un plazo de 1 año.

I = 5.000.000 * 0,15 * 1

I = 750.000 ptas.

· Una vez que hemos calculado el importe de los intereses, podemos calcular el importe del capital final:

Cf = Co + I
Cf = Co + ( Co * i * t )	(sustituyendo "I" por su equivalente)
Cf = Co * ( 1 + ( i * T ))	(sacando factor común "Co")
x	x
" Cf " es el capital final

· Ejemplo: ¿ Cual era el capital final en el ejemplo anterior ?

Cf = Co + I
Cf = 5.000.000 + 750.000
Cf = 5.750.000

· Hay un aspecto que es importante tener en cuenta: el tipo de interés y el plazo deben referirse a la misma medida temporal (si el tipo es anual, el plazo debe de ir en año, si el tipo es mensual, el plazo irá en mesas, etc).

· ¿ Como se calcula el tipo de interés equivalente, según distinta unidad de tiempo ? Muy fácil, lo vamos a ver con un ejemplo: tipos equivalentes a una tasa anual del 15%.

x
Base temporal	Calculo	Tipo resultante
x
Año	15 / 1	15 %
Semestre	15 / 2	7,5 %
Cuatrimestre	15 / 3	5 %
Trimestre	15 / 4	3,75 %
Mes	15 / 12	1,25 %
Día	15 / 365	0,041 %

· El resultado que se habría obtenido en el anterior ejemplo es independiente del tipo de base temporal que se hubiera tomado. Eso sí, si el interés va en base semestral, el plazo irá en semestre, etc.

x
Base temporal	Intereses
x
Año	5.000.000 * 0,15 * 1 = 750.000
Semestre	5.000.000 * 0,075 * 2 = 750.000
Cuatrimestre	5.000.000 * 0,05 * 3 = 750.000
Trimestre	5.000.000 * 0,0375 * 4 = 750.000
Mes	5.000.000 * 0,0125 * 12 = 750.000
Día	5.000.000 * 0,0041 * 365 = 750.000

· Veamos ahora un ejemplo:

· Ejemplo: calcular los intereses que producen 1 millón de pesetas al 15% anual durante 3 meses:

Si utilizo como base temporal meses, tengo que calcular el tipo mensual equivalente al 15% anual: 1,25% (= 15 / 12)

Ya puedo aplicar la formula: I = Co * i + t

I = 5.000.000 * 0,0125 * 3 = 187.500

Clase 3:Capitalización simple: Ejercicios.

Ejercicio 1: Calcular el interés que generan 500.000 ptas. durante 4 meses a un tipo de interés anual del 10%.

Ejercicio 2: Calcular el capital final que tendríamos si invertimos 1.000.000 ptas. durante 6 meses al 12%.

Ejercicio 3: Recibimos 500.000 ptas. dentro de 6 meses y 800.000 ptas. dentro de 9 meses, y ambas cantidades las invertimos a un tipo del 15%. Calcular que importe tendríamos dentro de 1 año.

Ejercicio 4: ¿ Qué es preferible recibir 500.000 ptas. dentro de 3 meses, 400.000 ptas. dentro de 6 meses, o 600.000 ptas. dentro de 1 año, si estos importe se pueden invertir al 12% ?

Ejercicio 5: Calcular los tipos anuales equivalentes: a) 4% semestral; b) 3% cuatrimestral; c) 5% trimestral; d) 1,5% mensual.

SOLUCIONES

Ejercicio 1:

Aplicamos la formula del interés: I = C * i * t

Como el tiempo está expresado en meses, tenemos que calcular el equivalente en base mensual del 15% anual (cuando se da un tipo de interés y no se indica nada, se sobreentiende que es anual)

Luego, i (12) = 10 / 12 = 0,08333 (es el tipo mensual equivalente)

Se podría también haber dejado el tipo anual, y haber puesto el plazo (4 meses) en base anual (= 0,33 años). El resultado habría sido el mismo. Comprobar

Una vez que tengo el tipo mensual equivalente, aplico la formula del interés.

Luego, I = 500.000 * 0,0083 * 4

Luego, I = 16.666 ptas.

Ejercicio 2:

La formula del capital final es: Cf = Co + I (capital inicial más intereses)

Tenemos que calcular, por tanto, los intereses I = Co * i * t

Luego, I = 1.000.000 * 0,12 * 0,5 (hemos dejado el tipo de interés en base anual (12%) y hemos expresado el plazo en años (0,5 años))

Luego, I = 60.000 ptas.

Ya podemos calcular el capital final.

Luego, Cf = 1.000.000 + 60.000

Luego, Cf = 1.060.000 ptas.

Ejercicio 3:

	Tenemos que calcular el capital final de ambos importes dentro de 1 año y sumarlos
x
1er importe: Cf = Co + I
Calculamos los intereses I = Co * i * t
Luego, I = 500.000 * 0,15 * 0,5 (dejamos el tipo de interés en base anual y expresamos el plazo en año. El plazo son 6 meses (0,5 años), ya que recibimos el capital dentro de 6 meses y lo tenemos invertido hasta dentro de 1 año)
Luego, I = 37.500 ptas.
Luego, Cf = 500.000 + 37.500 = 537.500 ptas.
x
2do importe: Cf = Co + I
Calculamos los intereses I = Co * i * t
Luego, I = 800.000 * 0,15 * 0,25 (el plazo es de 3 meses (0,25 años), ya que recibimos el capital dentro de 9 meses y se invierte hasta dentro de 1 año)
Luego, I = 30.000 ptas.
Luego, Cf = 800.000 + 30.000 = 830.000 ptas.
x
Ya podemos sumar los dos importe que tendremos dentro de 1 año
x
Luego, Ct = 537.500 + 830.000 = 1.367.500 ptas.

Ejercicio 4:

Entre la 1ª y 2ª opción (recibir 500.000 ptas. dentro de 3 meses o 400.000 dentro de 6 meses), está claro que es preferible la primera, ya que el importe es más elevado y se recibe antes.

Por lo tanto, la 2ª opción queda descartada, y sólo habrá que comparar la 1ª con la 3ª (recibir 600.000 dentro de 1 año).

Como estos importes están situados en momentos distintos, no se pueden comparar directamente, y hay que llevarlos a un mismo instante. Vamos a calcular los importes equivalentes dentro de 1 año (se podría haber elegido otro momento, por ejemplo el momento actual, pero en este caso habría que aplicar la formula de descuento que todavía no hemos visto).

1er importe: Cf = Co + I

Calculamos los intereses I = Co * i * t

Luego, I = 500.000 * 0,15 * 0,75 (el plazo es de 9 meses (0,75 años))

Luego, I = 56.250 ptas.

Luego, Cf = 500.000 + 56.250 = 556.250 ptas.

3er importe: Cf = 600.000 (no se calculan intereses, ya que el importe ya está situado dentro de 1 año)

Por lo tanto, la opción 3ª es más ventajosa.

Ejercicio 5:

Vamos a calcular los tipos anuales equivalentes:

a) 4% semestral: si i(2) = i / 2 (expresamos por "i(2)" el tipo semestral y por "i" el anual)

Luego, 4% = i /2

Luego, i = 8% (el tipo anual equivalente es el 8%)

b) 3% cuatrimestral: si i(3) = i / 3 (expresamos por "i(3)" el tipo cuatrimestral y por "i" el anual)

Luego, 3% = i /3

Luego, i = 9% (el tipo anual equivalente es el 9%)

c) 5% trimestral: si i(4) = i / 4 (expresamos por "i(4)" el tipo trimestral y por "i" el anual)

Luego, 5% = i /4

Luego, i = 20% (el tipo anual equivalente es el 20%)

d) 1,5% mensual: si i(12) = i / 12 (expresamos por "i(12)" el tipo mensual y por "i" el anual)

Luego, 1,5% = i / 12

Luego, i = 18% (el tipo anual equivalente es el 18%)

Clase 4:Capitalización compuesta.

La capitalización compuesta es otra formula financiera que también permite calcular el equivalente de un capital en un momento posterior.

La diferencia entre la capitalización simple y la compuesta radica en que en la simple sólo genera intereses el capital inicial, mientras que en la compuesta se considera que los intereses que va generando el capital inicial, ellos mismos van generando nuevos intereses.

Decíamos que la capitalización simple sólo se utiliza en operaciones a corto plazo (menos de 1 año), mientras que la capitalización compuesta se utiliza tanto en operaciones a corto plazo, como a largo plazo.

La formula de capitalización compuesta que nos permite calcular los intereses es la siguiente:

I = Co * ((( 1 + i) ^ t ) - 1 ) (el símbolo " ^ " significa "elevado a ")

" I " son los intereses que se generan

" Co " es el capital inicial (en el momento t=0)

" i " es la tasa de interés que se aplica

" t " es el tiempo que dura la inversión

Veamos un ejemplo: calcular los intereses que generan 2 millones de pesetas a un tipo del 10% durante un plazo de 1 año.

I = 2.000.000 * (((1 + 0,1) ^ 1) - 1)

I = 200.000 * (1,1 - 1)

I = 20.000 ptas.

Una vez calculado el importe de los intereses, podemos calcular el importe del capital final:

Cf = Co + I
Cf = Co + Co * (((1 + i) ^ t) - 1)	(sustituyendo "I" por su equivalente)
Cf = Co * (( 1 + i) ^ t)	(sacando factor común "Co")

" Cf " es el capital final

Ejemplo: ¿ Cual será el capital final en el ejemplo anterior ?

Cf = Co + I
Cf = 2.000.000 + 20.000
Cf = 2.020.000 ptas.

Al igual que vimos al estudiar la capitalización simple, también en la capitalización compuesta es importante tener en cuenta que el tipo de interés y el plazo deben referirse a la misma base temporal.

El calculo de los tipos de interés equivalentes, referidos a distinta base temporal, es diferente al que vimos en la capitalización simple. La formula de cálculo es la siguiente:


1 + i = ( 1 + im ) ^ m	(m se refiere a la base temporal que se utiliza)
	(m = 1, para años)
	(m = 2, para semestres)
	(m = 3, para cuatrimestres)
	(m = 4, para trimestres)
	(m = 12, para meses)
	(m = 365, para días)

Veamos, por ejemplo, los tipos equivalentes al 15% anual.


Base temporal	Calculo	Tipo equivalente

Semestre	1 + 0,15 = (1 + i2) ^ 2	i2 = 7,24 %
Cuatrimestre	1 + 0,15 = (1 + i3) ^ 3	i3 = 4,76 %
Trimestre	1 + 0,15 = (1 + i4) ^ 4	i4 = 3,56 %
Mes	1 + 0,15 = (1 + i12) ^ 12	i12 = 1,17 %
Día	1 + 0,15 = (1 + i365) ^ 365	i365 = 0,038 %

Clase 5:Capitalización compuesta vs capitalización simple

Ambas leyes de capitalización dan resultados diferentes. Vamos a analizar en que medida la aplicación de una u otra ley en el cálculo de los intereses da resultados mayores o menores, y para ello vamos a distinguir tres momentos:

a) Periodos inferiores a la unidad de referencia (en nuestro caso el año): en este supuesto, los intereses calculados con la ley de capitalización simple son mayores que los calculados con la ley de capitalización compuesta.

Veamos un ejemplo: calcular los intereses devengados por un capital de 4 millones de pesetas, durante 3 meses, a un tipo de interés del 12%:

a.1.) Capitalización simple

I = Co * i * t

Luego, I = 4.000.000 * 0,12 * 0,25 (hemos puesto tipo y plazo en base anual)

Luego, I = 120.000 ptas.

a.2.) Capitalización compuesta

I = Co * (((1 + i) ^ t) - 1)

Luego, I = 4.000.000 * (((1 + 0,12) ^ 0,25) - 1)

Luego, I = 4.000.000 * (1,029 - 1)

Luego, I = 116.000 ptas.

Se comprueba, por tanto, como el interés calculado con la formula de la capitalización simple es superior al calculado con la formula de capitalización compuesta.

b) Periodos iguales a un año: en estos casos, ambas formulas dan resultados idénticos.

Veamos un ejemplo: calcular los intereses devengados por un capital de 2 millones de pesetas, durante 1 año, a un tipo de interés del 15%:

a.1.) Capitalización simple

I = Co * i * t

Luego, I = 2.000.000 * 0,15 * 1 (tipo y plazo en base anual)

Luego, I = 300.000 ptas.

a.2.) Capitalización compuesta

I = Co * (((1 + i) ^ t) - 1)

Luego, I = 2.000.000 * (((1 + 0,15) ^ 1) - 1)

Luego, I = 2.000.000 * (1,15 - 1)

Luego, I = 300.000 ptas.

Se comprueba, por tanto, como los intereses calculados con ambas formulas son iguales.

c) Periodos superiores a un año: en estos casos, los intereses calculados con la formula de capitalización compuesta son superiores a los calculados con la formula de capitalización simple.

Veamos un ejemplo: calcular los intereses devengados por un capital de 5 millones de pesetas, durante 2 años, a un tipo de interés del 10%:

a.1.) Capitalización simple

I = Co * i * t

Luego, I = 5.000.000 * 0,10 * 2 (tipo y plazo en base anual)

Luego, I = 1.000.000 ptas.

a.2.) Capitalización compuesta

I = Co * (((1 + i) ^ t) - 1)

Luego, I = 5.000.000 * (((1 + 0,1) ^ 2) - 1)

Luego, I = 5.000.000 * (1,21 - 1)

Luego, I = 1.050.000 ptas.

Se puede comprobar, por tanto, como en este caso el interés calculado con la formula de capitalización compuesta es más elevado.

No obstante, como ya hemos indicado en lecciones anteriores, la formula de capitalización simple sólo se utiliza con operaciones de corto plazo (menos de 1 año), mientras que la de capitalización compuesta se puede utilizar en el corto y en el largo plazo.

Clase 6: Capitalización compuesta: Ejercicios.

Ejercicio 1: Calcular el interés de un capital de 5.000.000 ptas. invertidos durante un año y medio al 16%, aplicando capitalización simple y capitalización compuesta.

Ejercicio 2: Hallar el equivalente del 16% anual en base: a) mensual; b) cuatrimestral; c) semestral. Aplicando la formula de capitalización compuesta.

Ejercicio 3: Se recibe un capital de 1 millón de ptas. dentro de 6 meses y otro capital de 0,5 millones ptas. dentro de 9 meses. Ambos se invierten al 12% anual. ¿ Que importa se tendrá dentro de 1 año, aplicando capitalización compuesta ?.

Ejercicio 4: ¿ Qué intereses serían mayor, los de un capital de 600.000 invertidos durante 6 meses al 15% anual, aplicando capitalización simple, o los de un capital de 500.000 ptas. invertidos durante 8 meses al tipo del 16% en capitalización compuesta ?

Ejercicio 5: ¿ Si un capital de 1 millón de pesetas genera unos intereses durante 6 meses de 150.000 ptas, qué tipo de interés se estaría aplicando si se estuviera aplicando la capitalización simple ?, ¿y la capitalización compuesta ?.

SOLUCIONES

Ejercicio 1:

a) Aplicando la formula de capitalización simple: I = Co * i * t

Luego, I = 5.000.000 * 0,16 * 1,5

Luego, I = 1.200.000 ptas.

b) Aplicando la formula de capitalización compuesta: I = Co * (((1 + i) ^ t) - 1)

Luego, I = 5.000.000 * (((1 + 0,16) ^ 1,5) - 1)

Luego, I = 5.000.000 * (1,249 - 1)

Luego, I = 1.245.000 ptas.

Ejercicio 2:

Vamos a calcular los tipos equivalentes al 16% anual:

a) En base mensual: 1 + i = (1 + i12) ^ 12 (" i" es la tasa anual)

Luego, 1 + 0,16 = (1 + i12) ^ 12

Luego, (1,16) ^ 1/12 = 1 + i12

Luego, 1,0124 = 1 + i12

Luego, i12 = 0,0124

b) En base cuatrimestral: 1 + i = (1 + i3) ^ 3 (" i" es la tasa anual)

Luego, 1 + 0,16 = (1 + i3) ^ 3

Luego, (1,16) ^ 1/3 = 1 + i3

Luego, 1,0507 = 1 + i3

Luego, i3 = 0,0507

c) En base semestral: 1 + i = (1 + i2) ^ 2 (" i" es la tasa anual)

Luego, 1 + 0,16 = (1 + i2) ^ 2

Luego, (1,16) ^ 1/2 = 1 + i2

Luego, 1,0770 = 1 + i2

Luego, i2 = 0,0770

Ejercicio 3:

Tenemos que calcular el capital final de ambos importes dentro de 1 año y sumarlos

1er importe: Cf = Co + I

Calculamos los intereses I = Co * (((1 + i) ^ t) - 1)

Luego, I = 1.000.000 * (((1+0,12) ^ 0,5) - 1) (tipo y plazo en base anual)

Luego, I = 58.301 ptas.

Luego, Cf = 1.000.000 + 58.301 = 1.058.301 ptas.

2do importe: Cf = Co + I

Calculamos los intereses I = Co * (((1 + i) ^ t) - 1)

Luego, I = 500.000 * (((1+0,12) ^ 0,25) - 1) ( tipo y plazo en base anual)

Luego, I = 14.369 ptas.

Luego, Cf = 500.000 + 14.369 = 514.369 ptas.

Ya podemos sumar los dos importe que tendremos dentro de 1 año

Luego, Ct = 1.058.301 + 514.369 = 1.572.670 ptas.

Ejercicio 4:

a) En el 1º caso, aplicamos la fórmula de capitalización simple: I = Co * i * t

Luego, I = 600.000 * 0,15 * 0,5 (tipo y plazo en base anual)

Luego, I = 45..000 ptas.

b) En el 2º caso, aplicamos capitalización compuesta: I = Co * (((1 + i) ^ t) - 1)

Luego, I = 500.000 * (((1 + 0,16) ^ 0,66) - 1) ( tipo y plazo en base anual)

Luego, I = 500.000 * (1,249 - 1)

Luego, I = 51.458 ptas.

Luego en la 2ª opción los intereses son mayores.

Ejercicio 5:

a) Aplicando la formula de capitalización simple: I = Co * i * t

Luego, 150.000 = 1.000.000 * i * 0,5 (tipo y plazo en base anual)

Luego, i = 150.000 / 500.000

Luego, i = 0,3

Por lo tanto, se está aplicando un tipo de interés anual del 30%

b) Aplicando la formula de capitalización compuesta: I = Co * (((1 + i) ^ t) - 1)

Luego, 150.000 = 1.000.000 * (((1 + i) ^ 0,5) - 1)

Luego, 150.000 = 1.000.000 * ((1 + i) ^ 0,5) - 1.000.000

Luego, 1.150.000 = 1.000.000 * (((1 + i) ^ 0,5)

Luego, 1.150.000 / 1.000.000 = (1 + i) ^ 0,5

Luego, 1,15 = (1 + i) ^ 0,5

Luego, (1,15) ^ 2 = 1 + i

Luego, 1,322 = 1 + i

Luego, i = 0,322

Por lo tanto, se está aplicando un tipo de interés anual del 32,2%

Clase 7: Descuento comercial

La operación financiera de descuento es la inversa a la operación de capitalización. Con esta operación se calcula el capital equivalente en un momento anterior de un importe futuro.

Mientras que la ley de capitalización calcula unos intereses que se les añade al importe principal, compensando el aplazamiento en el tiempo de su disposición. En las leyes de descuento es justo al contrario: se calculan los intereses que hay que pagar por adelantar la disposición del capital.

Dentro de las leyes de descuento, se pueden distinguir tres modelos:

Descuento comercial

Descuento racional

Descuento económico

Vamos a empezar con el estudio del descuento comercial.

A) DESCUENTO COMERCIAL

La ley financiera del descuento comercial, que permite calcular el importe del descuento, es la siguiente:

D = Co * d * t

" D " son los intereses que hay que pagar

" Co " es el capital inicial (en el momento t=0)

" d " es la tasa de descuento que se aplica

" t " es el tiempo que dura la inversión

Veamos un ejemplo: calcular los intereses de descuento que generan 2 millones de pesetas, descontados a un tipo del 15%, durante un plazo de 1 año.

D = 2.000.000 * 0,15 * 1

D = 300.000 ptas.

Una vez que conocemos el importe del descuento, se puede calcular el capital final (que equivale al capital inicial menos el importe del descuento):

Cf = Co - D
Cf = Co - ( Co * d * t )	(sustituyendo "D" por su equivalente)
Cf = Co * ( 1 - ( d * t ))	(sacando factor común "Co")

" Cf " es el capital final

Ejemplo: ¿ Cual era el capital final en el ejemplo anterior ?

Cf = Co - D
Cf = 2.000.000 - 300.000
Cf = 1.700.000 ptas.

Al igual que ya hemos visto con las leyes de capitalización, es importante tener en cuenta que el tipo de interés y el plazo deben referirse a la misma medida temporal. El tipo de interés equivalente se calcula tal como visto al estudiar la capitalización simple.

Recordemos el ejemplo: tipos equivalentes a una tasa anual del 15%.


Base temporal	Calculo	Tipo resultante

Año	15 / 1	15 %
Semestre	15 / 2	7,5 %
Cuatrimestre	15 / 3	5 %
Trimestre	15 / 4	3,75 %
Mes	15 / 12	1,25 %
Día	15 / 365	0,041 %

Veamos un ejemplo: calcular los intereses de descuento de un capital de 600.000 pesetas al 15% anual durante 3 meses:

Si utilizo como base temporal meses, tengo que calcular el tipo mensual de descuento equivalente al 15% anual: 1,25% (= 15 / 12)

Ya puedo aplicar la formula: D = Co * d + t

D = 600.000 * 0,0125 * 3 = 22.500 ptas.

La ley de descuento comercial, al igual que la de capitalización simple, sólo se utiliza en el corto plazo (operaciones a menos de 1 año).

Clase 8:Descuento comercial: Ejercicios.

Ejercicio 1: Calcular el descuento por anticipar un capital de 800.000 ptas. por 7 meses a un tipo de descuento del 12%.

Ejercicio 2: Calcular el capital final que quedaría en la operación anterior.

Ejercicio 3: Se descuentan 200.000 ptas. por 6 meses y 900.000 ptas. por 5 meses, a un tipo de descuento del 15%. Calcular el capital actual total de las dos operaciones.

Ejercicio 4: ¿ Qué importe actual es más elevado: el que resulta de descontar 1.000.000 ptas. por 6 meses al 12%, o el de descontar 1.200.000 ptas. por 9 meses al 15% ?

Ejercicio 5: Se descuentan 800.000 ptas. por un plazo de 4 meses, y los interese del descuento son 40.000 ptas. Calcular el tipo del descuento.

SOLUCIONES

Ejercicio 1:

Aplicamos la formula del interés: D = C * d * t

Como el plazo está expresado en meses, tenemos que calcular el tipo de descuento en base mensual equivalente al 12% anual.

Luego, d (12) = 12 / 12 = 1,0 (es el tipo de descuento mensual equivalente)

Se podría también haber dejado el tipo anual, y haber puesto el plazo (7 meses) en base anual (= 0,583 años). El resultado habría sido el mismo. Comprobar

Una vez que tengo el tipo mensual equivalente, aplico la formula del interés.

Luego, D = 800.000 * 0,01 * 7 (un tipo del 1% equivales a 0,01)

Luego, D = 56.000 ptas.

Ejercicio 2:

La formula del capital final es: Cf = Co - D (capital inicial menos descuento)

Luego, Cf = 800.000 - 56.000

Luego, Cf = 744.000 ptas.

Ejercicio 3:

Tenemos que calcular el capital final de ambas operaciones

1er importe: Cf = Co - D

Calculamos los intereses de descuento D = Co * d * t

Luego, D = 200.000 * 0,15 * 0,5 (dejamos el tipo de interés en base anual y expresamos el plazo en año: 6 meses equivale a 0,5 años. Hubiera dado igual dejar el plazo en meses y calcular el tipo de descuento mensual equivalente)

Luego, D = 15.000 ptas.

Luego, Cf = 200.000 - 15.000 = 185.000 ptas.

2do importe: Cf = Co - D

Calculamos los intereses de descuento D = Co * d * t

Luego, D = 900.000 * 0,15 * 0,4166 (5 meses equivale a 0,4166 años).

Luego, D = 56.241 ptas.

Luego, Cf = 900.000 - 56.241 = 843.759 ptas.

Ya podemos sumar los dos importes

Luego, Cf = 185.000 + 843.759 = 1.028.759 ptas.

Ejercicio 4:

1er importe: Cf = Co - D

Calculamos los intereses D = Co * d * t

Luego, D = 1.000.000 * 0,12 * 0,5

Luego, D = 60.000 ptas.

Luego, Cf = 1.000.000 - 60.000 = 940.000 ptas.

2do importe: Cf = Co - D

Calculamos los intereses D = Co * d * t

Luego, D = 1.200.000 * 0,15 * 0,75

Luego, D = 135.000 ptas.

Luego, Cf = 1.200.000 - 135.000 = 1.065.000 ptas.

Por lo tanto, la opción 2ª es mayor.

Ejercicio 5:

Aplicamos la formula del interés: D = C * d * t

Luego, 40.000 = 800.000 * d * 0,333

Luego, d = 40.000 / 266.400 (ya que 266.400 = 800.000 * 0,333)

Luego, d = 0,1502

Por lo tanto, hemos aplicado un tipo anual del 15,02%

Clase 9: Descuento racional.

La ley financiera de descuento racional viene definida de la siguiente manera:

D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t)

" D " son los intereses que hay que pagar

" Co " es el capital inicial (en el momento t=0)

" d " es la tasa de descuento que se aplica

" t " es el tiempo que dura la inversión

Una vez que sabemos calcular los intereses de descuento, podemos ver como se determina el capital final:


Cf = Co - D
Cf = Co - (( Co * d * t ) / (1 + d * t))	(sustituyendo "D")
Cf = Co * ( 1 - ( d * t ) / (1 + d * t))	(sacando factor común "Co")
Cf = Co * ( ( 1 + d * t - d * t ) / (1 + d * t))	(operando en el paréntesis)

luego, Cf = Co / (1 + d * t)	" Cf " es el capital final

Veamos un ejemplo: Calcular los intereses de descuento por anticipar un capital de 1.200.000 ptas., durante 8 meses, a un tipo de interés del 14%.

Aplicamos la fórmula D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t)

luego, D = ( 1.200.000 * 0,14 * 0,666 ) / (1 + 0,14 * 0,666)

(0,666 es el equivalente anual de 8 meses)

luego, D = 102.345 ptas.

Podemos ahora calcular el capital final. Lo vamos a calcular de dos maneras:

a) Aplicando la fórmula Cf = Co - D (capital final es igual al capital inicial menos los intereses de descuento):

luego, Cf = 1.200.000 - 102.345

luego, Cf = 1.097.655 ptas.

b) Aplicando la fórmula Cf = Co / (1 + d * t)

luego, Cf = 1.200.000 / (1 + 0,14 * 0,666)

luego, Cf = 1.200.000 / 1,09324

luego, Cf = 1.097.655 ptas.

La ley de descuento racional es el equivalente, en sentido inverso, de la ley de capitalización simple, y, al igual que ésta, sólo se suele utilizar en operaciones a menos de 1 año. Esta relación de equivalencia no se cumple con la ley de descuento comercial.

Con el término equivalente nos referimos al hecho de que descontando un capital a un tipo de interés, y capitalizando el capital resultante con el mismo tipo de interés, volvemos al capital de partida.

Veamos un ejemplo: Descontar un capital de 1.000.000 ptas., por un plazo de 6 meses al 10%, y el importe resultante capitalizarlo (capitalización simple) por el mismo plazo y con el mismo tipo de interés. a) Aplicando el descuento racional; b) Aplicando el descuento comercial.

a) Aplicando el descuento racional

Primero descuento aplicando la fórmula Cf = Co / (1 + d * t)

luego, Cf = 1.000.000 / (1 + 0,1 * 0,5)

luego, Cf = 952.381 ptas.

Una vez obtenido el capital descontado, lo capitalizo aplicando la fórmula de capitalización simple Cf = Co * (1 + (i * t))

(El capital descontado, 952.381 ptas, pasa a ser ahora "Co")

luego, Cf = 952.381 * (1 + (0,1 * 0,5))

luego, Cf = 1.000.000 ptas.

Vemos que se ha cumplido la ley de equivalencia, y que hemos vuelto al capital de partida

b) Aplicando el descuento comercial

Primero descuento aplicando la fórmula Cf = Co * ( 1 - ( d * t ))

luego, Cf = 1.000.000 * (1 - 0,1 * 0,5)

luego, Cf = 950.000 ptas.

Ahora capitalizo Cf = Co * (1 + (i * t))

luego, Cf = 950.000 * (1 + (0,1 * 0,5))

luego, Cf = 997.500 ptas.

No se cumple, por tanto, la relación de equivalencia

Como se ha podido ver en el ejemplo, el descuento que se calcula aplicando la ley de descuento racional es menor que el que se calcula aplicando la ley de descuento comercial

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