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Lección 20: Renta diferida y anticipada (I)

 

Lección 20: Renta diferida y anticipada (I)  1

Lección 21: Renta diferida y anticipada (II)  2

Lección 22: Rentas constantes: Ejercicios (I)  3

Lección 23: Rentas variables  5

Lección 24: Rentas con distintos tipos de interés  7

Lección 25: Ejercicios  8

Lección 26: TAE  11

Lección 27: TAE: Ejercicios  12

Lección 29: Descuento bancario y depósito en garantía  15

 

 

Lección 20: Renta diferida y anticipada (I)

La renta diferida es aquella cuyo valor inicial se calcula con anterioridad al comienzo de la renta.

Por ejemplo: calculo hoy el valor de un contrato de alquiler que se va a poner en vigor dentro de 6 meses.

La renta anticipada es aquella en la que se calcula su valor final en un momento posterior a la finalización de la renta.

Por ejemplo: calculo hoy el valor de una serie de depósitos mensuales que fui realizando en un banco y que finalicé hace unos meses.

En la modalidad de renta diferida, lo que varía respecto a los modelos que hemos venido analizando es el calculo del valor inicial, ya que el valor final  coincide con la terminación de la renta (al igual que en los modelos que hemos visto).

En la renta anticipada, la peculiaridad está en el cálculo del valor final, ya que el valor inicial coincide con el comienzo de la renta .

Estas modalidades de renta diferida o anticipada pueden darse en los distintos supuestos de renta constante que hemos estudiado:

Una renta diferida puede ser una renta temporal (prepagable o pospagable), o una renta perpetua (también prepagable o pospagable).

Por su parte, la renta anticipada sólo puede darse en rentas temporales, nunca en el supuesto de rentas perpetuas, ya que estas no terminan nunca.

Vamos a analizar ahora en que medida estas peculiaridades afectan al cálculo del valor actual de la renta.

A) RENTA DIFERIDA

Vamos a suponer que entre el momento de la valoración y el momento del inicio de la renta transcurren "d" periodos.

Luego la diferencia con los modelos que hemos analizado, en los que se descontaban los importes hasta el momento de inicio de la renta, está en que en el caso de la renta diferida hay que descontar cada importe "d" periodos adicionales.

Veamos un ejemplo con una renta unitaria pospagable:

Periodo 

Importe descontado 

Importe descontado 

x

(Renta normal)

(Renta diferida)

x

 

 

1

1 / ( 1 + i )

1 / ( 1 + i )^1+d

2

1 / ( 1 + i )^2

1 / ( 1 + i )^2+d

3

1 / ( 1 + i )^3

1 / ( 1 + i )^3+d

 .....

.....

.....

 .....

.....

.....

n-2

1 / ( 1 + i )^n-2

1 / ( 1 + i )^n-2+d

n-1

1 / ( 1 + i )^n-1

1 / ( 1 + i )^n-1+d

n

1 / ( 1 + i )^n

1 / ( 1 + i )^n+d

   Luego, el valor actual sería el siguiente:

x

Renta normal

Renta diferida

x

 

 

Valor actual

Ao = (1 - (1 + i)^-n)/ i 

Ao = (1+i)^-d * ((1 - (1 + i)^-n)/ i) 

Este mismo razonamiento se aplica en todos los caso. En el siguiente cuadro se presentan las fórmulas del valor inicial de una renta diferida en los distintos supuesto:

Tipo de renta

Renta normal

Renta diferida

x

 

 

Temporal pospagable

Ao = (1 - (1 + i)^-n)/i 

d/Ao = (1+i)^-d * ((1 - (1 + i)^-n)/ i) 

x

 

 

Temporal prepagable

Äo = (1 + i) * ((1 - (1 + i)^-n)/ i) 

d/Äo = (1+i)^-d+1 * ((1 - (1 + i)^-n)/i)  

x

 

 

Perpetua pospagable

APo = 1 / i  

d/APo = (1+i)^-d / i 

x

 

 

Perpetua prepagable

ÄPo = (1 + i) / i  

d/ÄPo = (1+i)^-d+1 / i  

x

 

 

Ejemplo: Calcular el valor actual de una renta perpetua anual pospagable de 300.000 pesetas, con un tipo de interés anual del 16%, y que se encuentra diferida  2 años:

x

Aplicamos la fórmula Vo = C * d/APo  

x

luego, Vo = 300.000 * (1+0,16)^-2 / 0,16  

luego, Vo = 1.393.430 ptas.  

Ejemplo: Calcular el valor actual de una renta semestral prepagable de 1.000.000 ptas. durante 7 años, con un tipo de interés anual del 8%, y que se encuentra diferida 3 años:

Como los importes son semestrales tendremos que utilizar la base semestral 

x

Tipo de interés semestral: 1 + i = (1 + i2)^2 

luego, 1 + 0,08 = (1 + i2)^2  

luego, i2 = 3,92%  

x

Aplicamos ahora la fórmula de valor actual,  Vo = C *d/Äo 

x

luego,  Vo = C * (1+i2)^-d+1 * ((1 - (1 + i2)^-n)/i2)

luego,  Vo = 1.000.000*(1,0392)^-6+1 * ((1 - (1,0392)^-14)/0,0392)

(los periodos van expresados en semestres)

luego,  Vo = 1.000.000*0,825*10,619

luego,  Vo = 8.760.783 ptas.

 

Lección 21: Renta diferida y anticipada (II)

B) RENTA ANTICIPADA

Comentamos en la lección anterior que en las rentas anticipadas, lo que varía respecto a los modelos normales que hemos analizado es el cálculo del valor final, ya que el cálculo del valor inicial es el mismo.

Vamos a suponer que entre el momento final y el de la valoración transcurren "k" periodos.

La diferencia en el cálculo del valor final está en que en los modelos normales los importes se capitalizan hasta el momento final de la renta, mientras que en la renta anticipada cada importe hay que capitalizarlo "k" periodos adicionales.

Veamos un ejemplo con una renta unitaria pospagable:

Periodo 

Importe capitalizado

Importe capitalizado

x

(Renta normal)

(Renta anticipada)

x

 

 

1

1 * ( 1 + i )^n-1

1 * ( 1 + i )^n-1+k

2

1 * ( 1 + i )^n-2

1 * ( 1 + i )^n-2+k

3

1 * ( 1 + i )^n-3

1 * ( 1 + i )^n-3+k

 .....

.....

.....

 .....

.....

.....

n-2

1 * ( 1 + i )^2

1 * ( 1 + i )^2+k

n-1

1 * ( 1 + i )^1

1 * ( 1 + i )^1+k

n

1

1 * ( 1 + i )^k

   Luego, el valor final sería el siguiente:

x

Renta normal

Renta anticipada

x

 

 

Valor final

Sf = ((1 + i)^n - 1) / i 

k/Sf = (1 + i)^k*(((1 + i)^n - 1) / i) 

Este mismo razonamiento se aplica también en el caso de la renta prepagable:

x

Renta normal

Renta anticipada

x

 

 

Valor final

f = (1 + i) * (((1 + i)^n - 1) / i) 

k/f = (1 + i)^1+k * (((1 + i)^n - 1)/i) 

Hemos comentado en la lección anterior, que la modalidad de renta anticipada sólo se puede dar en las rentas temporales, pero no en las rentas perpetuas, ya que estas no finalizan, por lo que no se puede calcular un valor final.

Ejemplo: Calcular el valor final de una renta perpetua anual pospagable de 500.000 pesetas, de 6 años de duración, con un tipo de interés anual del 12%, y que se encuentra anticipada 4 años:

x

Aplicamos la fórmula del valor final Vn = C * k/Sf  

x

luego, Vn = C * (1 + i)^k*(((1 + i)^n - 1) / i)  

luego, Vn = 500.000 * (1+0,12)^4 * (((1,12)^6 -1)/0,12)  

luego, Vn = 500.000 * 1,5735 * 8,1152  

luego, Vn = 6.384.625 ptas.  

Ejemplo: Calcular el valor final de una renta trimestral prepagable de 150.000 ptas. durante 5 años, con un tipo de interés anual del 12%, y que se encuentra anticipada 2 años y medio:

Como los importes son trimestrales tendremos que utilizar la base trimestral 

x

Tipo de interés trimestral: 1 + i = (1 + i4)^4 

luego, 1 + 0,12 = (1 + i4)^4  

luego, i4 = 2,874%  

x

Aplicamos ahora la fórmula de valor final,  Vn = C * k/f 

x

luego,  Vn = C * (1 + i)^1+k * (((1 + i)^n - 1)/i)

luego,  Vn = 150.000*(1,02874)^1+10 * (((1,02874)^20 -1 )/ 0,02874)

(los periodos van expresados en trimestres)

luego,  Vn = 150.000*1,3657*26,5286

luego,  Vn = 5.434.521 ptas

 

Lección 22: Rentas constantes: Ejercicios (I)

Ejercicio 1: Tenemos una renta pospagable de 500.000 ptas. semestrales, durante 4 años, y se le aplica un tipo de interés del 10% anual.

Calcular el valor actual

Calcular el valor final

Ver la relación entre valor actual y valor final

Ejercicio 2: El mismo ejercicio anterior, pero suponiendo que la renta es prepagable.

Ejercicio 3: Calcular el  valor inicial de una renta perpetua pospagable de 100.000 ptas. mensual, aplicando un tipo de interés anual del 8% anual.

Ejercicio 4: Tenemos una renta trimestral de 200.000 ptas., prepagable, con una duración de 4 años, y se le aplica un tipo de interés anual del 10%. La renta se encuentra diferida 2 años.

Calcular el valor inicial

Calcular el valor final

 

SOLUCIONES

Ejercicio 1:

A) Valor inicial

x

Como la renta es semestral, hay que utilizar la base semestral

x

Tipo de interés semestral: 1 + i = (1 + i2)^2 

luego, 1 + 0,1 = (1 + i2)^2  

luego, i2 = 4,881%  

x

Aplicamos la fórmula Vo = C * ((1 - (1 + i)^-n)/ i) 

 

luego,  Vo = 500.000 * (1 - (1,04881)^-8) / 0,04881)

luego,  Vo = 500.000 * 6,4944

luego,  Vo = 3.247.209 ptas.

x

B) Valor final

 

Aplicamos la fórmula Vn = C * (((1 + i)^n - 1) / i)  

x

luego,  Vn = 500.000 * (((1,04881)^8- 1) / 0,04881)  

luego,  Vn = 500.000 * 9,5086  

luego,  Vn = 4.754.281 ptas.  

 

C) Relación entre el valor inicial y el valor final

 

Tenemos que verificar la fórmula Sf = Ao (1 + i)^n  

x

luego,  4.754.281 = 3.247.209 * 1,464  

luego,  4.754.281 = 4.754.281  

x

Por lo tanto, se verifica la relación  

x

Ejercicio 2: Vamos a suponer ahora que la renta es prepagable

A) Valor inicial

x

Aplicamos la fórmula Vo = C * (1 + i) * ((1 - (1 + i)^-n)/ i) 

x

luego,  Vo = 500.000 * 1,04881 * ((1 - (1,04881)^-8) / 0,04881 

luego,  Vo = 3.405.705 ptas. 

x

B) Valor final

x

Aplicamos la fórmula Vn = C * (1 + i) * (((1 + i)^n - 1) / i)  

x

luego, Vn = 500.000 * (1 + 0,04881) * (((1 + 0,04881)^8 - 1) / 0,04881)  

luego,  Vn = 500.000 * 1,04881 * 9,5086 

luego,  Vn = 4.986.336 ptas.  

x

C) Relación entre el valor inicial y el valor final

x

Tenemos que verificar la fórmula f = (1 + i)^n * Äo  

x

luego,  4.986.336 = 3.405.705 * 1,464  

luego,  4.986.336 = 4.986.336  

x

Por lo tanto, se verifica la relación  

x

Ejercicio 3: 

Como la renta es mensual, hay que utilizar la base mensual

x

Tipo de interés mensual: 1 + i = (1 + i12)12 

luego, 1 + 0,08 = (1 + i12)^12  

luego, i12 = 0,643%  

x

Aplicamos ahora la fórmula de valor actual,  Vo = C / i

x

luego,  Vo = 100.000 / 0,00643 

luego,  Vo = 15.552.100 ptas. 

x

Ejercicio 4:

A) Valor inicial 

x

Como los importes son trimestrales tendremos que utilizar la base trimestral 

x

Tipo de interés semestral: 1 + i = (1 + i4)^4 

luego, 1 + 0,1 = (1 + i4)^4  

luego, i4 = 2,411%  

x

Aplicamos ahora la fórmula de valor actual,  Vo = C *d/Äo 

x

luego,  Vo = C * (1+i4)^-d+1 * ((1 - (1 + i4)^-n)/i4)

luego,  Vo = 200.000 * (1,02411)^-8+1 * ((1 - (1,02411)^-16)/0,02411)

(los periodos van expresados en trimestres)

luego,  Vo = 200.000 * 0,8464 * 13,146

luego,  Vo = 2.225.325 ptas.

x

B) Valor final 

xx

El valor final de una renta diferida coincide con el de una renta normal,  en este caso, con el correspondiente a una renta prepagable  

xx

Aplicamos la fórmula Vn = C * (1 + i4) * (((1 + i4)^n - 1) / i4)  

xx

luego, Vn = 200.000 * (1 + 0,02411) * (((1 + 0,2411)^16 - 1) / 0,02411)  

luego, Vn = 200.000 * 1,02411 * 19,246  

luego, Vn = 3.941.958 ptas.  

 

Lección 23: Rentas variables

Los términos de las rentas variables son diferentes, por lo que no se puede aplicar ninguna fórmula de simplificación.

El método que se utilizará es el de descontar cada uno de estos términos al momento inicial (calculo del valor inicial) o al momento final (cálculo del valor final).

Dentro de estas rentas variables se podrán presentar cada una de las modalidades que hemos estudiado:

Prepagable

Pospagable

Anticipadas

Diferidas

Ejemplo: Calcular el valor actual de una renta semestral, prepagable, con un tipo anual del 12%. Los términos de la renta son los siguientes:

Periodo 

Término (ptas.)

x

 

1º sem.

100.000

2º sem.

200.000

3º sem.

150.000

 4º sem.

300.000

 5º sem.

100.000

6º sem.

400.000

 

xx

1º) se calcula el tipo de interés semestral equivalente:  

x

1 + i = (1 + i2)^2  (siendo i2 el tipo semestral equivalente)

1 + 0,12 = (1 + i2)^2 

luego, i2 = 5,83%  

xx

2º) Se descuenta cada término al momento inicial:  

x

 

Periodo 

Término (ptas.)

Factor de Descuento

Término descontado

x

 

 

 

1º sem.

100.000

1

100.000

2º sem.

200.000

(1 + 0,0583)^-1

188.980

3º sem.

150.000

(1 + 0,0583)^-2

133.935

 4º sem.

300.000

(1 + 0,0583)^-3

253.110

 5º sem.

100.000

(1 + 0,0583)^-4

79.720

6º sem.

400.000

(1 + 0,0583)^-5

301.312

x

 

 

 

Suma de los términos descontados

1.357.057

 

xx

Por lo tanto, el valor actual de esta renta es de 1.357.057 ptas.  

Ejemplo: Calcular el valor final de una renta trimestral pospagable que se encuentra anticipada dos años, aplicando un tipo de interés anual del 9%. Los términos de la renta son los siguientes:

Periodo 

Término (ptas.)

x

 

1º trim.

100.000

2º trim.

200.000

3º trim.

300.000

 4º trim.

400.000

 

xx

1º) se calcula el tipo de interés trimestral equivalente:  

x

1 + i = (1 + i4)^4  (siendo i4 el tipo trimestral equivalente)

1 + 0,09 = (1 + i4)^4 

luego, i4 = 2,178%  

xx

2º) Se capitaliza cada término al momento final de la renta:  

x

 

Periodo 

Término (ptas.)

Factor de Capitalización

Término capitalizado

x

 

 

 

1º trim.

100.000

(1 + 0,02178)^3

106.677

2º trim.

200.000

(1 + 0,02178)^2

208.807

3º trim.

300.000

(1 + 0,02178)^1

306.534

 4º trim.

400.000

1

400.000

x

 

 

 

Suma de los términos capitalizados

1.022.018

 

xx

De esta manera se ha calculado el valor final de esta renta en el momento final (vencimiento del 4º término), pero esta renta se encuentra anticipada 2 años. 

x

3º) El valor final calculado se capitaliza 2 años:  

x

Vk = Vn (1 + i )^2  (se utiliza el tipo anual, ya que la base temporal es el año)

Vk = 1.022.018 (1 + 0,09 )^2

Vk = 1.214.260 ptas.

 

Por lo tanto, el valor final de esta renta diferida (Vk) es de 1.214.260 ptas. 

 

 

Lección 24: Rentas con distintos tipos de interés

Hay rentas a las que se aplican distintos tipos de interés según los periodos:

Por ejemplo: Una renta de 3 años de duración a la que se aplican los siguientes tipos: 8% en el 1er año; 9% en el 2º año y 10% en el 3er año.

En estos casos hay que valorar cada tramo de forma independiente y sumar luego los valores obtenidos de cada tramo.

Ejemplo: Calcular el valor inicial de una renta anual pospagable de 1.000.000 ptas. y de 9 años de duración, a la que se le aplica el 5% en los 3 primeros años, el 6% en los 3 siguientes y el 7% en los 3 últimos:

Hay que calcular el valor inicial de cada tramo y sumarlo:

1º) El primer  tramo comprende 3 años y en el cálculo de su valor inicial se puede seguir el modelo de una renta normal pospagable:  

x

Por lo tanto se aplica la fórmula Vo = C * ((1 - (1 + i)^-n)/ i) 

luego, Vo = 1.000.000 * ((1 - (1 + 0,05)^-3)/ 0,05) 

luego, Vo = 1.000.000 * 2,7232 

luego, Vo = 2.723.248 ptas. 

x

Por lo tanto, el valor actual de la renta de este primer tramo es de 2.723.348 ptas.  

xx

2º) Para el 2º tramo se calcula su valor actual al comienzos de dicho periodo (comienzos del 4º año) y luego se descuenta hasta el momento 0.  

x

Se aplica la misma formula que en el caso anterior para calcular el valor actual a comienzos del 4º año: 

x

luego, Vo = C * ((1 - (1 + i)^-n)/ i) 

luego, Vo = 1.000.000 * ((1 - (1 + 0,06)^-3)/ 0,06) 

luego, Vo = 2.673.012 ptas. 

x

El valor así calculado se descuenta 3 años (periodo diferido), pero en este descuento se aplica el tipo de interés del 1er periodo (5%), ya que es el tipo vigente en esos años 

x

luego, Vk = 2.673.012 * (1 + 0,05)^-3 

luego, Vk = 2.309.038 ptas. 

x

Por lo tanto, el valor en el momento 0 de las rentas correspondientes al 2º tramo es de 2.309.038 ptas. 

x

3º) En el 3º tramo se aplica el mismo método: se calcula su valor actual al comienzo de dicho periodo (comienzos del 7º año) y luego se descuenta por el periodo diferido.  

x

Cálculo de su valor actualizado a comienzos del 7º año: 

x

luego, Vo = C * ((1 - (1 + i)^-n)/ i) 

luego, Vo = 1.000.000 * ((1 - (1 + 0,07)^-3)/ 0,07) 

luego, Vo = 2.624.316 ptas. 

x

Este valor se descuenta 6 años (periodo diferido): los 3 primeros aplicando el tipo del primer tramo (5%), y en los 3 siguientes, el del 2º tramo (6%). 

x

luego, Vk = 2.624.316 * (1 + 0,05)^-3 * (1 + 0,06)^-3 

luego, Vk = 1.903.264 ptas. 

x

El valor en el momento 0 de las rentas correspondientes al 3º tramo es de 1.903.264 ptas. 

x

4º) Una vez calculado el valor actual de los tres tramos se suman y se obtiene el valor actual de toda la renta.  

x

luego, Vo = 2.723.248 + 2.309038 + 1.903.264 

luego, Vo = 6.935.550 ptas. 

x

Por lo tanto, el valor actual de toda la renta es de 6.935.550 ptas. 

En este tipo de renta en la que se aplican diversos tipos de interés resulta interesante conocer el tipo medio resultante.

Para ello se aplica la formula como si se tratara de una renta normal, con un sólo tipo de interés, y se despeja de la formula este tipo de interés medio:

luego, Vo = C * ((1 - (1 + i)^-n)/ i) 

luego, 6.935.550 = 1.000.000 * ((1 - (1 + im)^-9)/ im) (donde im es el tipo medio)

x

El cálculo de im exige una calculadora financiera, o se puede hacer por tanteo

x

luego im = 5,555% (calculado por tanteo)

x

Por lo tanto, la renta que hemos visto con tres tipos de interés diferentes es equivalente a una renta de igual duración y con los mismo términos de 1.000.000 ptas., con un tipo de interés constante del 5,555%

 

Lección 25: Ejercicios

Ejercicio 1: Calcular el valor final de una renta prepagable trimestral, que se encuentra anticipada un año y medio, aplicando un tipo de interés del 10%. Los términos son:

Periodo 

Término (ptas.)

x

 

1º trim.

500.000

2º trim.

600.000

3º trim.

700.000

 4º trim.

800.000

 5º trim.

900.000

6º trim.

1.000.000

Ejercicio 2: Calcular el valor inicial de una renta anual pospagable, diferida 6 meses, aplicando un tipo de interés del 8%. Los términos son:

Periodo 

Término (ptas.)

x

 

1º año

600.000

2º año

400.000

3º año

200.000

 4º año

400.000

 5º año

600.000

Ejercicio 3: A una renta semestral de 300.000 ptas., pospagable, y de 3 años de duración, se le aplican dos tipos de interés: el 3% para los tres primeros semestres y el 12% para los tres siguientes. La renta se encuentra diferida 1 años. Calcular:

El valor inicial

El tipo medio equivalente

Ejercicio 4: Una renta semestral de 6 términos de 200.000 ptas., prepagable, se le aplica el 8% en el 1er año, el 9% en el 2º año y el 10% en el 3er año. Esta renta se encuentra anticipada 2 años. Calcular el valor final.

 

SOLUCIONES

 

Ejercicio 1:

1º) se calcula el tipo de interés trimestral equivalente:  

x

1 + i = (1 + i4)^4  (siendo i4 el tipo trimestral equivalente)

1 + 0,10 = (1 + i4)^4 

luego, i4 = 2,411%  

xx

2º) Se capitaliza cada término al momento final:  

x

 

Periodo 

Término (ptas.)

Factor de Capitalización

Término capitalizado

x

 

 

 

1º sem.

500.000

(1 + 0,02411)^6

576.832

2º sem.

600.000

(1 + 0,02411)^5

675.903

3º sem.

700.000

(1 + 0,02411)^4

769.989

 4º sem.

800.000

(1 + 0,02411)^3

859.270

 5º sem.

900.000

(1 + 0,02411)^2

943.921

6º sem.

1.000.000

(1 + 0,02411)

1.024.110

x

 

 

 

Suma de los términos descontados

4.850.025

 

xx

3º) El importe obtenido se capitaliza por el periodo anticipado:  

xx

Luego, Vn = 4.850.025  * (1 + 0,1)^1,5  (tipo de interés anual; la base temporal es el año)

Luego, Vn = 5.595.424 ptas.  

xx

Por lo tanto, el valor final de esta renta es de 5.595.424 ptas.  

 

Ejercicio 2:

1º) Se descuenta cada término al momento inicial:  

x

 

Periodo 

Término (ptas.)

Factor de Descuento

Término capitalizado

x

 

 

 

1º año

600.000

(1 + 0,0)^-1

555.540

2º año

400.000

(1 + 0,0)^-2

342.920

3º año

200.000

(1 + 0,0)^-3

158.760

 4º año

400.000

(1 + 0,0)^-4

294.000

 5º año

600.000

(1 + 0,0)^-5

408.350

x

 

 

 

Suma de los términos descontados

1.759.570

 

xx

2º) El importe obtenido se descuenta por el periodo diferido:  

xx

Luego, Vo = 1.759.570 * (1 + 0,08)^-0,5

Luego, Vo = 1.693.147 ptas.  

xx

Por lo tanto, el valor inicial de esta renta es de 1.693.147 ptas.  

x

Ejercicio 3:

1º) Cálculo del valor inicial:  

x

Se calculan los valores iniciales de cada tramo como si se tratarán de dos rentas independientes, y se suman los valores obtenidos.  

x

a.1.- Calculo del valor inicial del primer tramo:  

x

Primero se calcula el tipo semestral equivalente

x

1 + i = (1 + i2)^2  (siendo i2 el tipo semestral equivalente)

1 + 0,10 = (1 + i2)^2 

luego, i2 = 4,881%  

x

Luego se  aplica la fórmula Vo = C * ((1 - (1 + i)^-n)/ i) xx

Luego, Vo = 300.000 * ((1 - (1 + 0,04881)^-3/ 0,04881) xx

Luego, Vo = 818.800 ptas. xx

x

a.2.- Calculo del valor inicial del segundo tramo:  

x

Se calcula el tipo semestral equivalente, i2 = 5,830% 

x

Luego se  aplica la fórmula Vo = C * ((1 - (1 + i)^-n)/ i) xx

Luego, Vo = 300.000 * ((1 - (1 + 0,0583)^-3/ 0,0583) xx

Luego, Vo = 804.432 ptas. (valor inicial al comienzo del 2º tramo)xx

x

Este valor se descuenta tres semestres hasta el momento inicial de la renta xx

x

Luego, Vo = 804.432 * (1 + 0,04881)^-3 (se aplica el tipo del primer periodo)

Luego, Vo = 697.267 ptas. xx

x

a.3.- Calculado el valor inicial de los dos tramos se suman:  

x

Luego, Vo = 818.800 + 697.267 xx

Luego, Vo = 1.516.067 ptas. xx

x

Por lo tanto, el valor inicial de la renta es de 1.516.067 ptas.

x

2º) Cálculo del tipo medio equivalente:  

x

Se aplica la fórmula Vo = C * ((1 - (1 + i)^-n)/ i) (donde im es el tipo medio)

luego, 1.516.067 = 300.000 * ((1 - (1 + im)^-6/ im) 

x

luego im = 5,12% (calculado por tanteo)

x

Ejercicio 4:

Se calculan de manera independiente los valores finales de cada tramo.  

x

a.1.- Calculo del valor final del primer tramo:  

x

Primero se calcula el tipo semestral equivalente, i2 = 3,923%  

x

Luego se  aplica la fórmula Vn = C * (1 + i) * ((1 + i)^n - 1)/ i) 

Luego, Vn = 200.000 * (1 + 0,03923) * ((1 + 0,03923)^2 - 1)/ 0,03923) 

Luego, Vn = 423.846 ptas. (valor en el momento final del tramo primero) 

x

Este valor obtenido, se capitaliza hasta el momento final de la renta 

x

Luego, Vn = 423.846 ptas. * (1 + 0,09) * (1 + 0,10) 

Luego, Vn = 508.191 ptas. 

x

a.2.- Calculo del valor final del segundo tramo:  

x

Se calcula el tipo semestral equivalente, i2 = 4,403%

x

Se  aplica la fórmula Vn = C * (1 + i) * ((1 + i)^n - 1)/ i) 

Luego, Vn = 426.806 ptas. (valor en el momento final del tramo segundo) 

x

Este valor se capitaliza hasta el momento final de la renta 

x

Luego, Vn = 426.806 ptas. * (1 + 0,10) 

Luego, Vn = 469.486 ptas. 

x

a.3.- Calculo del valor final del tercer tramo:  

x

Se calcula el tipo semestral equivalente i2 = 4,881% 

x

Luego se  aplica la fórmula Vf = C * (1 + i) * ((1 + i)^n - 1)/ i) 

Luego, Vn = 429.762 ptas.

x

a.4.- Los valores finales de los tres tramos se suman y se obtiene el valor final de la renta:  

x

Luego, Vn = 508.191 + 469.486 + 429.762 

Luego, Vn = 1.407.439 ptas. 

x

a.5.- El valor obtenido se capitaliza dos años (periodo anticipado)  

x

Luego, Vn = 1.407.439 * (1 + 0,10)^2 

Luego, Vn = 1.703.001 ptas. 

 

Por lo tanto, el valor final de esta renta, tras el periodo anticipado, es de 1.703.001 ptas.

Lección 26: TAE

En toda operación financiera se produce un intercambio de prestaciones dinerarias: una parte anticipa un capital y recibe a cambio pagos futuros. A lo largo de la vida de la operación, en diversos momentos pueden darse movimientos de capital en una u otra dirección.

El tipo de interés efectivo de una operación es aquel que iguala el valor actual de las prestaciones y de las contraprestaciones.

Si se actualiza al momento inicial, por una parte los pagos y por otra parte los cobros, el tipo de interés efectivo es aquel que iguala estos dos valores iniciales.

El Banco de España establece que en toda operación financiera, la entidad de crédito tiene que comunicar el tipo TAE (Tasa Anual Equivalente).

El TAE es el tipo de interés efectivo, expresado en tasa anual,  pospagable.

Es decir, para calcular el TAE:

a) Se calcula el tipo de interés efectivo de la operación

b) Conocido este tipo efectivo, se calcula el tipo anual, pospagable (TAE) equivalente

El tipo TAE, al venir siempre expresado como tasa anual, pospagable, permite comparar el coste real o rendimiento real de diversas operaciones, en aquellos casos en que sus tipos de interés nominales no son directamente comparable:

Por ejemplo: si el tipo de interés de un crédito viene expresado en tasa trimestral, y el de otro crédito en tasa semestral, estos tipos no son directamente comparables. Pero si calculamos sus TAEs, ya sí se pueden comparar.

Cuando la entidad financiera calcula el TAE de una operación, en la parte de ingresos incluye no sólo los derivados del tipo de interés, sino también los ingresos por comisiones y cualquier otro tipo de ingreso derivado de la operación.

EJEMPLO: Se solicita un crédito de 1.000.000 ptas. que hay que devolver en 2 pagos semestrales de 550.000 ptas. Calcular el TAE:

Los flujos de capital son los siguientes: 

 

x

 

 

Meses

Flujo

 

 

 

 

0

+1.000.0000

 

6

-500.000

 

12

-500.000

 

x

6

 

Se analiza la operación desde el punto de vista del cliente.  Los importes que recibe van con signos positivo, y los que paga van con signos negativo. Se podría haber realizado desde el punto de vista del banco, cambiando los signos

x

1.- Se calcula el tipo de interés efectivo

x

Luego, 1.000.000 = 550.000 * (i + i2)^-1 + 550.000* (i + i2)^-2

Luego, i2 = 6,596 % (i2  es el tipo de interés efectivo semestral)

x

2.- Calculado el tipo de interés efectivo, se calcula  su equivalente TAE:

x

Se aplica la fórmula, (1 + i) = (1 + i2)^2 (donde i es el tipo TAE)

Luego, (1 + i) = (1 + 0,06596)^2 

Luego, i = 13,628% 

x

Por lo tanto, la tasa TAE de esta operación es el 13,628%

x

 

Lección 27: TAE: Ejercicios

Ejercicio 1: Se deposita en un banco 550.000 ptas. el 1 de enero, y otras 550.000 ptas. el 1 de julio. A final de año se recibe del banco 1.200.000 ptas. Calcular el TAE de la operación. 

Ejercicio 2: Una entidad financiera concede un crédito de 1.000.000 ptas., a un plazo de 1 año. El tipo de interés del crédito es del 10% anual, realizándose el pago de los intereses a principio de cada trimestre. La entidad cobra una comisión de estudio de 25.000 ptas. Calcular el TAE de la operación.

SOLUCIONES

Ejercicio 1:

a) Los flujos de capital son los siguientes: 

 

x

 

 

Meses

Flujo

 

 

 

 

0

-550.000

 

6

-550.000

 

12

+1.200.000

 

x

6

 

Se analiza la operación desde el punto de vista del cliente.  Los importes que recibe van con signo positivo y los que paga con signo negativo. 

x

b) Se calcula el tipo de interés que iguala el valor en el momento inicial de la prestación y de la contraprestación:

x

Luego, 550.000 + 550.000 * (i + i2)^-1 = 1.200.000 * (1 + i2) ^-2

Despejando, i2 = 5,9429 % (i2  es el tipo de interés efectivo semestral)

x

c) Conocido el tipo de interés efectivo, se calcula  su equivalente TAE:

x

Se aplica la fórmula, (1 + i) = (1 + i2)^2 (donde i es el tipo TAE)

Luego, (1 + i) = (1 + 0,059429)^2 

Luego, i = 12,239% 

x

Por lo tanto, la tasa TAE de esta operación es el 12,239%

x

Ejercicio 2:

a) Calculamos el importe de las liquidaciones trimestrales 

 

x

 

Se calcula el tipo de interés trimestral equivalente al 10% anual:

x

 

luego, (1 + i) = (1 + i4)^4 

 

luego, (1 + 0,1) = (1 + i4)^4 

 

luego, i4 = 2,4114% 

 

x

 

Por lo tanto la liquidación trimestral será: I = 1.000.000 * 0,024114 

luego, I = 24.114 ptas.

 

x

 

b) Ya podemos detallar el flujo de la operación: 

 

x

 

 

 

Meses

Principal

Intereses

Comisiones

 

 

 

 

0

+1.000.000

-24.114

-25.000

3

 

-24.114

 

6

 

-24.114

 

9

 

-24.114

 

12

-1.000.000

 

 

x

6

 

 

Se analiza la operación desde el punto de vista del cliente.  Los importes que recibe van con signo positivo y los que paga con signo negativo. 

x

 

c) Se calcula el tipo de interés que iguala el valor en el momento inicial de la prestación y de la contraprestación:

x

 

Luego, 1.000.000 = 24.114 + 25.000 + 24.114 * (1 + i4) ^-1 + 24.114 * (1 + i4) ^-2+ 24.114 * (1 + i4) ^-3 + 1.000.000 * (1 + i4) ^-4

(la base temporal es el trimestre)

Despejando, i4 = 3,1625 (i4  es el tipo de interés efectivo trimestral)

x

 

d) Conocido el tipo de interés efectivo, se calcula  su equivalente TAE:

x

 

Se aplica la fórmula, (1 + i) = (1 + i4)^4 (donde i es el tipo TAE)

Luego, (1 + i) = (1 + 0,031625)^4 

 

Luego, i = 13,26% 

 

x

 

Por lo tanto, la tasa TAE de esta operación es el 13,26%

 

x

 

 

Lección 28º: Descuento bancario de efectos comerciales

En este tipo de operaciones la entidad financiera anticipa al cliente el importe de una letra de cambio que éste trae al descuento, liquidando por anticipado los intereses de la operación.

Suelen ser operaciones a corto plazo, por lo que se aplica la ley de descuento comercial (en el supuesto de que fuera una operación a largo plazo se aplicaría la ley de descuento compuesto).

Para calcular el importe efectivo que la entidad financiera entrega al cliente se aplica la siguiente ley:

E = Co * ( 1 - d * t ) - ( Co * g )

x

E es el importe efectivo que recibe el cliente

Co es el importe nominal del efecto

d es el tipo de descuento aplicado

t es el plazo de la operación

g es el % de comisiones que se cobra

x

Por lo tanto, el paréntesis Co * (1 - d * t ) calcula el importe final, descontado los intereses.

El paréntesis ( Co * g ) calcula las comisiones que cobra la entidad financiera y que se suelen establecer como un porcentaje del importe nominal del efecto.

Veamos un ejemplo: 

Un cliente descuenta en una entidad financiera un efecto de 600.000 ptas. a 90 días, y se le aplica un tipo de interés del 12% anual. Se le cobran también comisiones equivalentes al 0,5% del valor nominal del efecto.

a) Calcular el importe efectivo que recibe el cliente:

x

Se aplica la fórmula E = Co * ( 1 - d * t ) - ( Co * g )

Luego, E = 600.000 * ( 1 - 0,12 * 0,246 ) - ( 600.000 * 0,005 )

(Como se utiliza el tipo de interés anual, el plazo se pone en base anual: 90 días = 0,246 años)

Luego, E = 579.247 ptas.

x

Por lo tanto, el cliente recibe 579.247 ptas.

x

b) Calcular el tipo  efectivo de la operación

x

Recordemos que el tipo efectivo es aquel que iguala en el momento inicial el valor de la prestación y de la contraprestación.

x

Luego, 579.247 = 600.000 * ( 1 - ie * t ) (siendo ie el tipo efectivo)

x

¿Qué estamos haciendo?: estamos llevando al momento inicial la prestación (lo que cobra el cliente, que como lo recibe en el momento 0 no hay que descontarlo) y la contraprestación (lo que paga el cliente: como la letra de cambio vence a los 90 días hay que descontarla).

x

ATENCION: tal como indicábamos, como es una operación a corto plazo para calcular el tipo efectivo se aplica la ley de descuento comercial. Si fuera a largo plazo se aplicaría la ley de descuento compuesto.

x

Luego, ie = 14,03%

x

Se observa como la tasa de descuento efectivo (14,03%) es superior a la tasa nominal (12,0%), lo que se explica por el fuerte impacto que tienen las comisiones.

x

c) Calcular el TAE de la operación

x

El TAE siempre se calcula aplicando la ley de capitalización o descuento compuesto (son leyes equivalentes), con independencia de que la operación sea a plazo largo o corto.

x

Por lo tanto, se aplica la fórmula 579.247 = 600.000 * ( 1 + ie )^t

luego, 579.247 = 600.000 * ( 1 + ie )^0,246

luego, ie = 15,345%

x

El TAE de la operación es 15,345%, superior al tipo nominal y al tipo efectivo. 

 

Lección 29: Descuento bancario y depósito en garantía

Hace unos años era muy frecuente que cuando el cliente descontaba un efecto comercial (letra de pago) en el banco, éste le exigiera que dejara un porcentaje del importe recibido (5-10%) depositado en el banco (depósito que a veces era remunerado).

La justificación que solía dar la banca para esta operatoria era que este depósito quedaba como garantía para el supuesto de que algún efecto viniera impagado (éste se cobraría con cargo al depósito del cliente).

No obstante, había otro motivo menos "confesable", y es que con este depósito (aún en el supuesto de que fuera remunerado) el banco aumentaba la rentabilidad que obtenía en la operación de descuento. 

Veamos un ejemplo:

Un cliente descuenta en un banco una letra de cambio de 800.000 ptas., por un plazo de 100 días, y con un tipo de interés anual del 9%. El banco cobra una comisión de estudio del 0,4% sobre el valor nominal el efecto.

Vamos a calcular el tipo efectivo y el TAE de la operación en dos supuestos:

a) Si el banco no exige ningún depósito.

b) Si el banco exige la constitución de un depósito por el 10% del importe efectivo, que remunera al 5% anual.

Hipótesis 1: El banco no exige ningún depósito. 

x

a) Se calcula el importe efectivo que recibe el cliente 

x

La fórmula es: E = Co * ( 1 - d * t ) - ( Co * g ) (se aplica la ley de descuento comercial)

Luego, E = 800.000 * ( 1 - 0,09 * 0,274 ) - ( 800.000 * 0,004 )

(0,274 es el plazo, 100 días, expresado en año)

Luego, E = 777.074 ptas.

x

b) Se calcula el tipo  de interés efectivo 

x

Se aplica la fórmula, 777.074 = 800.000 * ( 1 - ie * 0274 )    (ie es el tipo efectivo)

Luego, ie = 10,46%

x

c) Se calcula el TAE de la operación

x

Se aplica la fórmula 777.074 = 800.000 * ( 1 + ie )^0,274    (ie es el tipo TAE)

luego, ie = 11,20%

x

Hipótesis 2: El banco sí exige  la constitución de un  depósito 

x

a) Se calcula el importe efectivo 

x

El importe efectivo que recibe el cliente es el mismo (777.074 ptas.), con la diferencia de que ahora puede disponer en el momento inicial de tan sólo 699.367 (90% del importe efectivo), ya que el 10% restante (77.707 ptas.) queda depositada en el banco).

x

Al cabo de los 100 días, podrá disponer de las 77.707 ptas. depositadas, más de los intereses que haya generado:

x

Estos intereses se calcularán: I = Co * i * t

luego, I = 77.707 * 0,05 * 0,274

luego, I = 1.064,6 ptas.

x

b) Se calcula el tipo  de interés efectivo

x

Igualamos en el momento inicial el valor de la prestación (lo que recibe el cliente) y la contraprestación (lo que paga)

x

luego, 699.367 + 78,771,6 * ( 1 - ie * 0274 ) = 800.000 * ( 1 - ie * 0274 ) 

x

¿Cual es la prestación? las 699.367 que recibe en el momento inicial (no hay que descontarla), más el importe del depósito y de sus intereses (78.771,6 = 77.707 + 1.064,6) que recibe en el momento final (y que hay que descontar)

x

¿Y cual es la contraprestación? el importe del efecto (800.000) que el banco podrá cobrar en el momento final (y que hay que descontar) 

x

Luego, ie = 11,063%

x

Por lo tanto, el tipo de interés efectivo se eleva al 11,063%, superior al que calculamos en la Hipótesis 1.

x

c) Se calcula el TAE de la operación

x

La fórmula es, 699.367 + 78,771,6 * ( 1 + ie )^0,274 = 800.000 * ( 1 + ie )^0,274

luego, ie = 11,89%

x

El TAE de la operación es 11,89%, superior igualmente al que vimos en la hipótesis anterior. 

x

Por lo tanto, la constitución del depósito ha encarecido la operación para el cliente, ya que la remuneración que obtiene (5%) es inferior al tipo del descuento (9%). 

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