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Lección 50: Empréstitos: Introducción

 

Lección 50: Empréstitos: Introducción  1

Lección 51: Deuda del Estado  1

Lección 52: Deuda del Estado: Ejercicios  3

Lección 53: Empréstitos con amortizaciones parciales de capital 4

Lección 54: Empréstitos sin vencimiento  5

Lección 55: Empréstitos: amortización por sorteo (I)  6

Lección 56: Empréstitos: amortización por sorteo (II)  7

Lección 57: Empréstitos: cupón cero (I)  8

Lección 58: Empréstitos: cupón cero (II)  9

Lección 59: Obligaciones convertibles  10

Lección 60: Rentabilidad de un empréstito  11

Lección 61: Obligación con bonificación fiscal 12

Lección 62: Obligación con bonificación fiscal: Ejercicio (I)  12

Lección 63: Obligación con bonificación fiscal: Ejercicio (II)  13

Lección 64: Valoración de una inversión (I)  14

Lección 65: Valoración de una inversión (II)  15

Lección 66: Valoración de una inversión: Ejercicio  16

 

 

Lección 50: Empréstitos: Introducción

El empréstito es una modalidad de financiación por la que una entidad (empresa, organismo público, etc.) que necesita fondos, acude directamente al mercado, en lugar de ir a una entidad financiera.

La entidad divide el préstamo en un gran número de pequeñas partes iguales (participaciones), que coloca entre multitud de inversores. Estas partes del empréstito vienen representadas por "títulos-valores".

Todos los "títulos-valores" correspondientes a una misma emisión presentan las  mismas características: importe, tipo, vencimiento, etc.

La entidad que emite los títulos se denomina "emisor", mientras que el inversor que los suscribe se denomina "obligacionista".

Los "títulos-valores" ofrecen al inversor los siguientes derechos:

a) Recibir periódicamente intereses por los fondos prestados

b) Recuperar los fondos prestados al vencimiento del empréstito

Los empréstitos se clasifican según diversos criterios:

a) Según el emisor: deuda pública (emitida por entidades públicas) y deuda privada  (emitida por empresas).

b) Según el vencimiento: deuda amortizable (si tiene vencimiento) y deuda perpetua (no tiene vencimiento; no obstante, el emisor se suele reservar el derecho de amortizarla cuando lo considere oportuno).

c) Según la modalidad de amortización: con vencimientos periódicos parciales (en cada periodo se amortizan, bien un número determinado de títulos, bien una parte de todos los títulos) y con una única amortización al vencimiento.

d) Según el valor de emisión de los títulos: títulos emitidos a la par (se emiten por su valor nominal), títulos bajo la par (se emiten a un precio inferior a su valor nominal) y títulos sobre la par (se emiten a un precio superior a su valor nominal).

e) Según su valor de amortización: reembolsables por el nominal (su precio de amortización coincide con su valor nominal) y reembolsables con prima de amortización (su precio de amortización es superior a su valor nominal).

f) Según el pago de intereses: pago de intereses periódicos (periódicamente el inversor va recibiendo sus intereses) y "cupón cero" (un único pago de intereses en la fecha de vencimiento final del empréstito).

g) En función de la duración del empréstito: Pagarés (vencimiento inferior a 18 meses), Bonos (vencimiento entre 2 y 5 años) y obligaciones (vencimiento normalmente a más de 5 años).

 

 Lección 51: Deuda del Estado

El Estado utiliza como fuente de financiación la emisión de títulos-valores a medio y largo plazo:

Bonos del Estado (vencimiento a 3-5 años)

Obligaciones del Estado (vencimiento a 10-30 años)

Estos títulos presentan entre otras las siguientes características:

a) Su valor nominal suele ser constante (actualmente 10.000 ptas.)

b) Se suscriben mediante subasta, adjudicándoselo aquel inversionista que ofrece un precio más elevado

c) Pago de intereses anuales pospagables

d) Amortización a la par

La colocación de estos valores se realiza con anterioridad a la emisión de los mismos:

Por ejemplo: unas obligaciones a 10 años que se van a emitir el 10 de enero del año 2000, comienzan a colocarse entre los inversores a partir de junio/99.

En el momento de la colocación el inversor desembolsa ya el importe de la adquisición, pero el título no comienza a generar intereses hasta que no se emite.

Este plazo transcurrido entre colocación y emisión hay que tenerlo en cuenta a la hora de calcular la rentabilidad efectiva del título.

Ejemplo: El Estado emite bonos a 5 años, con fecha de emisión 1/01/00. El nominal de cada título es de 10.000 ptas y ofrece un tipo de interés del 6,5%. El inversor los suscribe el 31/09/99 al 102% de su valor (es decir, paga 10.200 ptas. por cada título). Calcular su rendimiento efectivo:

 

 

 

 

Fecha

Suscripción

Intereses

Amortización

 

 

 

 

31/09/99

- 10.200

 

 

01/00/00

(Emisión)

 

 

31/12/00

 

+ 650

 

31/12/01

 

+ 650

 

31/12/02

 

+ 650

 

31/12/03

 

+ 650

 

31/12/04

 

+ 650

+ 10.000

 

(Con signo negativo los pagos que realiza el inversor y con signo positivo los ingresos que recibe)

Los intereses de cada periodo se han calculado aplicando la fórmula: 

I = Co * i * t

Luego, I = 10.000 * 0,065 * 1 = 650 ptas.

Para calcular el rendimiento efectivo de este título se aplica la fórmula de equivalencia financiera:

Pc = (I * Ao + Pa (1 + ie) ^-n) * (1 + ie)^-t

 

Siendo, Pc: precio de compra del título (en el ejemplo, 10.200 ptas.)

Siendo, I: intereses periódicos (en el ejemplo: 650 ptas.)

Siendo, Ao: valor actual de una renta unitaria, pospagable: Ao = (1 - (1 + ie)^-n)/ ie

Siendo, ie: el tipo de interés efectivo de la operación. Su valor se obtiene como solución de la ecuación de equivalencia financiera

Siendo, Pa: el precio de amortización (en el ejemplo: 10.000 ptas.)

Siendo, n: el plazo de duración de los títulos emitidos (en el ejemplo: 5 años)

Siendo, t: el tiempo transcurrido entre la suscripción (momento en el que el inversor desembolsa el dinero) y la emisión del título (en el ejemplo, 0,25 años)

 

El paréntesis (I * Ao + Pa (1 + ie) ^-n) calcula el valor actual de los ingresos que recibe el inversionista, actualizados al momento de emisión del título.

 

El paréntesis (1 + ie)^-t descuenta el valor calculado en el paréntesis anterior, desde el momento de la emisión hasta el momento de la suscripción.

Resolvemos la ecuación:

10.200 = ((650 * (1 - (1+ie)^-5)/ ie) + (10.000*(1 + ie)^-5)) * (1+ie) ^-0,25

ie = 5,694 %

 

Por lo tanto, la rentabilidad efectiva que proporciona este título (en las condiciones que se ha adquirido) es del 5,694%, inferior al 6,5% nominal que ofrece.

 

¿Por qué esta menor rentabilidad?.

 

Básicamente por dos motivos: primero, por que se ha pagado por el título más que su valor nominal (10.200 ptas. vs 10.000 ptas.) y segundo, por que se ha desembolsado su importe 3 meses antes que su fecha de emisión.

 

Lección 52: Deuda del Estado: Ejercicios

Ejercicio

El Tesoro Público emite obligaciones a 10 años, con fecha de emisión 01/07/00. El valor nominal de los títulos es de 10.000 ptas., con un tipo de interés del 7,0% y amortización a la par. Estas obligaciones se han suscrito el 01/01/00.

Calcular el rendimiento efectivo de estos títulos:

a) Si el precio de suscripción ha sido del 101,5%

b) Si el precio de suscripción ha sido del 98,5%

 

Solución:

a) Precio de suscripción del 101,5%

Comenzamos por definir la tabla de flujos monetarios que genera esta operación

 

 

 

 

Fecha

Suscripción

Intereses

Amortización

 

 

 

 

01/01/00

- 10.150

 

 

01/07/00

(Emisión)

 

 

01/07/01

 

+ 700

 

01/07/02

 

+ 700

 

01/07/03

 

+ 700

 

01/07/04

 

+ 700

 

01/07/05

 

+ 700

 

01/07/06

 

+ 700

 

01/07/07

 

+ 700

 

01/07/08

 

+ 700

 

01/07/09

 

+ 700

 

01/07/10

 

+ 700

+10.000

El precio pagado por cada título ha sido: 10.000 * 101,5% = 10.150 ptas.

Los intereses de cada periodo se han calculado aplicando la fórmula: 

I = Co * i * t

Luego, I = 10.000 * 0,07 * 1 = 700 ptas.

Para calcular el rendimiento efectivo se aplica la fórmula de equivalencia financiera:

Pc = (I * Ao + Pa (1 + ie) ^-n) * (1 + ie)^-t

Resolvemos la ecuación:

10.150 = ((700 * (1 - (1+ie)^-10)/ ie) + (10.000*(1 + ie)^-10)) * (1+ie) ^-0,5

ie = 6,354 %

 

Por lo tanto, la rentabilidad efectiva que proporciona cada título (en las condiciones que se han adquirido) es del 6,354%, inferior al 7,0% nominal que ofrece.

b) Precio de suscripción del 98,5%

La tabla de flujos monetarios es igual que la anterior, sólo cambia el precio pagado en la compra del título:

 

 

 

 

Fecha

Suscripción

Intereses

Amortización

 

 

 

 

01/01/00

- 9.850

 

 

01/07/00

(Emisión)

 

 

01/07/01

 

+ 700

 

01/07/02

 

+ 700

 

01/07/03

 

+ 700

 

01/07/04

 

+ 700

 

01/07/05

 

+ 700

 

01/07/06

 

+ 700

 

01/07/07

 

+ 700

 

01/07/08

 

+ 700

 

01/07/09

 

+ 700

 

01/07/10

 

+ 700

+10.000

El precio pagado por cada título ha sido: 10.000 * 98,5% = 9.850 ptas.

Resolvemos la ecuación:

9.850 = ((700 * (1 - (1+ie)^-10)/ ie) + (10.000*(1 + ie)^-10)) * (1+ie) ^-0,5

ie = 6,751 %

 

Por lo tanto, la rentabilidad efectiva que proporciona cada título (en las condiciones que se han adquirido) es del 6.751%.

 

 Lección 53: Empréstitos con amortizaciones parciales de capital

Este tipo de empréstitos se va amortizando con reducciones parciales de capital.

Dentro de esta categoría, el caso más frecuente es aquél en el que las amortizaciones de capital son constantes a lo largo de la vida de la operación.

 Las amortizaciones parciales de capital se calculan:

AMs = Co / n

 

Siendo, Co: el importe inicial del empréstito

Siendo, n: el número de periodos

Asimismo, es fácil calcular la evolución del saldo vivo y del capital amortizado:

Saldo vivo

Ss = Co - S AM  

Capital amortizado

CAs = S AM  

La carga de intereses de cada periodo se calcula aplicando la siguiente fórmula:

Is = Ss-1 * i * t

 

Siendo, Ss-1: el saldo vivo al final del periodo anterior

Siendo, t: la duración del periodo

Conocido el importe que se amortiza en cada periodo, así como los intereses, se conoce el importe de la cuota periódica:

Ms = AMs + Is

La cuota periódica Ms es una cuota decreciente, ya que AMs es constante, pero el importe de los intereses Is va disminuyendo.

Ejemplo:

Se emite un empréstito de 10.000 millones de pesetas, representados por 1 millón de títulos de 10.000 ptas. de valor nominal cada uno. El plazo es de 5 años y cada año se amortiza el mismo importe de principal. El tipo de interés es el 8%.

Calcular el cuadro de amortización:

Solución:

Cada año se amortiza:

AMs = 10.000 / 5 = 2.000 millones de ptas.

El cuadro de amortización es el siguiente:

Periodo

Saldo vivo

Amortización de capital

Capital amortizado

Intereses

Cuota

Nº de títulos

Valor nominal de cada título

 

(Millones ptas)

(Millones ptas.)

(Millones ptas.)

(Millones ptas.)

(Millones ptas.)

 

(ptas.)

 

 

 

 

 

 

 

 

año 0

10.000

0

0

0

0

1.000.000

10.000

año 1

8.000

2.000

2.000

800

2.800

1.000.000

8.000

año 2

6.000

2.000

4.000

640

2.640

1.000.000

6.000

año 3

4.000

2.000

6.000

480

2.480

1.500.000

4.000

año 4

2.000

2.000

8.000

320

2.320

1.000.000

2.000

año 5

0

2.000

10.000

160

2.160

0

0

 

 Lección 54: Empréstitos sin vencimiento

Estos empréstitos no tienen vencimiento, son perpetuos. No obstante, las entidades públicas (que son las únicas que los emiten) se suelen reservar el derecho de poder amortizarlos en cualquier momento futuro.

La cuota periódica está integrada exclusivamente por los intereses, ya que no hay amortización de principal:

Ms = Is

Siendo Ms la cuota periódica y Is los intereses del periodo

La carga de los intereses será siempre la misma, ya que el saldo vivo no varía (suponiendo, también, un tipo de interés constante durante toda la vida de la operación).

Is = Co * i * t

Siendo Co el importe inicial del empréstito

Ejemplo: Se realiza una emisión de obligaciones de 50.000 millones de ptas., sin vencimiento, con tipo de interés anual del 7%. Calcular el importe de la cuota periódica:

Ms = Is

 

Siendo, Is = Co * i * t

Luego, Is = 50.000 * 0,07 * 1

Luego, Is = 3.500 millones ptas.

 

Por lo tanto, Ms = 3.500 millones ptas.

El valor de mercado de este tipo de empréstito, en cualquier momento su vida, viene determinado por la siguiente fórmula:

Vm = Is / im

Siendo, Vm el valor del empréstito

Siendo, im el tipo de mercado para emisiones de características similares en el momento de la valoración. 

Ejemplo: transcurridos 3 años de la anterior emisión, el tipo de interés para emisiones similares ha subido al 8%. Calcular el valor actual de este empréstito:

Vm = Is / im

 

Luego, Vm = 3.500 / 0,08 = 43.750 millones ptas.

 

Por lo tanto, el valor del empréstito es ahora de 43.750 millones ptas., significativamente menor que su valor nominal (50.000 millones ptas.) 

 

 Lección 55: Empréstitos: amortización por sorteo (I)

En este tipo de empréstitos, muy utilizados, se realizan periódicamente amortizaciones de un número determinado de títulos, que son elegidos por sorteo.

Las cuotas periódicas incluyen, por tanto, dos conceptos:

- El pago de los intereses del periodo

- La amortización de aquellos títulos seleccionados

a) Pago periódico de intereses y cuotas periódicas constantes

Dentro de este tipo de empréstitos, destaca un modelo particular que se caracteriza porque las cuotas periódicas son constantes durante toda la vida del empréstito (por simplificar, vamos a considerar que el tipo de interés también es constante durante toda la operación).

Para calcular el importe de la cuota periódica se aplica la ley de equivalencia financiera:

Co = Ms * Ao

Siendo Co el importe inicial del empréstito

Siendo Ms el importe de la cuota periódica

Siendo Ao el valor actual de una renta constante, pospagable

De aquí podemos despejar el valor de Ms. Para calcular que parte de esta cuota periódica corresponde a amortización de capital se calcula la correspondiente al primer periodo:

M1 = (Co * i * t)  + (A1 * Vn)

El primer paréntesis (Co * i * t) corresponde a los intereses del periodo, mientras que el segundo paréntesis (A1 * Vn) corresponde a la amortización de capital (siendo A1 el número de títulos que se amortiza y Vn el valor nominal de cada título)

El importe de los intereses se puede calcular directamente, y a continuación se puede deducir el importe de la amortización de capital (y con ella, el número de títulos amortizados).

A partir del número de títulos que se amortiza en el primer periodo, se puede calcular el calendario de amortizaciones:

As = Ai * (1 + i)^s-1

Siendo As el número de títulos que se amortiza en el periodo s

La parte de cada cuota periódica que corresponde a intereses se calcula aplicando la fórmula:

Ms = AMs  + Is

Por lo que, Is = Ms - AMs

Ejemplo: Se realiza una emisión de obligaciones de 20.000 millones ptas., distribuida en  1.000.000 de títulos de 20.000 ptas. de nominal cada uno, a un plazo de 5 años y tipo de interés del 8%. Las cuotas son anuales y constantes.

Calcular el cuadro de amortizaciones:

Solución:

Se comienza por calcular el importe constante de la cuota periódica

Co = Ms * Ao

 

luego, Co = Ms * ((1 - (1 + i)^-n) / i)

luego, 20.000 = Ms * ((1 - (1 + 0,08)^-5) / 0,08)

luego, Ms = 5.009,13 millones ptas.

A continuación se calcula el número de títulos que se amortiza en el primer periodo:

Ms = (Co * i * t) + (A1 * Vn)

 

luego, 5.009,13 = (20.000*0,08*1) * (A1 * 0,02) (el valor nominal del título está expresado en millones de ptas.)

luego, A1 = 170.456 títulos

Ya podemos hallar el número de títulos que se amortiza en cada uno de los periodos:

A2

170.456 * (1 + 0,08)

184.092 títulos

A3

170.456 * (1 + 0,08)^2

198.820 títulos

A4

170.456 * (1 + 0,08)^3

214.725 títulos

A5

170.456 * (1 + 0,08)^4

231.904 títulos

Conociendo el número de títulos amortizados, simplemente se multiplican por su valor nominal para ver el importe del empréstito amortizado en cada periodo.

Los intereses se calculan por diferencia: Is = Ms - AMs

Ya se puede completar el cuadro de amortizaciones:

 

Nº de títulos

Cuota periódica

Saldo vivo del empréstito

Periodo

Vivos

Amortizados en periodo

Amortiz. acumulados

Amortiz. de capital

Intereses

Cuota periódica

 

 

 

 

(Millones ptas.)

(Millones ptas.)

(Millones ptas.)

(Millones ptas.)

año 0

1.000.000

0

0

0

0

0

20.000

año 1

829.544

170.456

170.456

3.409,12

1.600,00

5.009,13

16.590,88

año 2

645.452

184.092

354.548

3.681,84

1.327,29

5.009,13

12.909,04

año 3

446.632

198.820

553.368

3.796,40

1.032,73

5.009,13

8.932,64

año 4

231.904

214.725

768.093

4.294.50

714,63

5.009,13

4.638,08

año 5

0

231.904

1.000.000

4.638,08

371,05

5.009,13

0

 

 Lección 56: Empréstitos: amortización por sorteo (II)

b) Pago periódico de intereses y amortización de capital constante

Esta es otra modalidad de empréstitos muy utilizada.

El número de títulos que se amortiza en cada periodo viene determinado por la fórmula:

A = n / p

Siendo A el número de títulos que se amortiza en cada periodo

Siendo n el número total de títulos emitidos

Siendo p el número de periodos

Conociendo el número de títulos que se amortiza en cada periodo, es inmediato ver como evoluciona el número de títulos en circulación y con ello el saldo vivo del empréstito.

El importe de los intereses de cada periodo viene determinado por:

Is = Ss-i * i * t

Siendo Ss-1 el saldo vivo del empréstito al final del periodo anterior

Y el importe de la cuota periódica:

Ms = (A * Vn) + Is

Siendo Vn el importe nominal de cada título

Veamos un ejemplo:

Se emiten obligaciones por 30.000 millones de pesetas, a 5 años y con un tipo de interés del 7%. La emisión se compone de 1.000.000 de títulos, con un valor nominal de 30.000 ptas. cada uno. Se amortiza el mismo número de títulos en cada periodo.

Calcular el cuadro de amortizaciones:

 

Nº de títulos

Cuota periódica

Saldo vivo del empréstito

Periodo

Vivos

Amortizados en periodo

Amortiz. acumulados

Amortiz. de capital

Intereses

Cuota periódica

 

 

 

 

(Millones ptas.)

(Millones ptas.)

(Millones ptas.)

(Millones ptas.)

año 0

1.000.000

0

0

0

0

0

30.000

año 1

800.000

200.000

200.000

6.000

2.100

8.100

24.000

año 2

600.000

200.000

400.000

6.000

1.680

7.680

18.000

año 3

400.000

200.000

600.000

6.000

1.260

7.260

12.000

año 4

200.000

200.000

800.000

6.000

840

6.840

6.000

año 5

0

200.000

1.000.000

6.000

420

6.420

0

 Lección 57: Empréstitos: cupón cero (I)

En algunos tipos de empréstitos se realiza un único pago de intereses en el momento de amortización de los títulos. Estas emisiones se denominan de "cupón cero".

Dentro de esta categoría se distinguen diversas variantes, destacando:

a) Cuotas periódicas constantes

b) Amortización del mismo número de títulos en cada periodo

Cuotas periódicas constantes

El esquema es similar al de los empréstitos con pago de intereses periódicos y cuota constante. La diferencia está en que en aquel modelo, la cuota periódica incluía intereses sobre el saldo vivo, mientras que ahora (cupón cero) sólo incluye los intereses acumulados de los títulos que se amortizan en ese periodo.

A efectos de simplificar, consideraremos que el tipo de interés es constante durante toda la vida del empréstito.

La cuota periódica se calcula:

Co = M * Ao

Siendo Co el importe inicial del empréstito

Siendo M el importe de la cuota periódica

Siendo Ao el valor actual de una renta constante, pospagable

De aquí se despeja M. 

Para calcular el número de títulos que se amortiza en cada periodo, empezamos por conocer los del primer periodo:

M = (A1 * Vn) + (1 + i)

Siendo A1 el número de títulos amortizados en el primer periodo

Siendo Vn el valor nominal de cada título

Los títulos que se amortizan en periodos sucesivos se calculan con la siguiente fórmula:

As = A1 * (1 + i)^-(s-1)

Siendo As el número de títulos que se amortiza en el periodo s

La parte de la cuota periódica que corresponde a intereses de los títulos amortizados se calcula fácilmente:

Is = Ms - (A1 * Vn)

Siendo Is los intereses que se pagan en ese periodo

Conociendo este dato, ya se puede completar el cuadro de amortización.

Veamos un ejemplo:

Se emiten obligaciones por 50.000 millones de ptas. (1.000.000 de títulos, con un valor nominal de 50.000 ptas. cada uno). La duración es de 5 años y tipo de interés constante del 6%. Las cuotas anuales son constantes y los interese se pagan en el momento de amortización de cada título.

Calcular el cuadro de amortizaciones:

La cuota periódica se calcula:

Co = M * Ao

Luego, Co = M * ((1 - (1 + i)^-n) / i)

Luego, 50.000 = M * 4,2123

Luego, M = 11.869,82 millones ptas.

A continuación se calcula el número de títulos que se amortiza en el primer periodo:

M = (A1 * Vn) * (1 + i)

Luego, 11.869,82 = (A1 * 0,05) + (1 + 0,06) (el valor nominal del título está expresado en millones de ptas.)

Luego, A1 = 223.959 títulos

Ya se puede calcular el resto del calendario de amortización:

A2

223.959 * (1 + 0,06)^-1

211.282 títulos

A3

223.959 * (1 + 0,06)^-2

199.323 títulos

A4

223.959 * (1 + 0,06)^-3

188.040 títulos

A5

223.959 * (1 + 0,06)^-4

177.396 títulos

Y se puede completar el cuadro de amortizaciones:

 

Nº de títulos

Cuota periódica

Saldo vivo del empréstito

Periodo

Vivos

Amortizados en periodo

Amortiz. acumulados

Amortiz. de capital

Intereses

Cuota periódica

 

 

 

 

(Millones ptas.)

(Millones ptas.)

(Millones ptas.)

(Millones ptas.)

año 0

1.000.000

0

0

0

0

0

50.000

año 1

776.041

223.959

223.959

11.197,9

671,9

11.869,8

38.802,1

año 2

564.759

211.282

435.241

10.564,1

1.305.7

11.869,8

28.238,0

año 3

365.436

199.323

634.564

9.966,1

1.903,6

11.869,8

18.271,9

año 4

177.396

188.040

822.604

9.402,0

2.467,8

11.869,8

8.869,8

año 5

0

177.396

1.000.000

8.869,8

3.000,0

11.869,8

0

 

 Lección 58: Empréstitos: cupón cero (II)

Amortización del mismo número de títulos en cada periodo

En este tipo de empréstitos en cada periodo se amortiza el mismo número de títulos:

A = n / p

Siendo A el número de títulos que se amortiza en cada periodo

Siendo n el número total de títulos emitidos

Siendo p el número de periodos

Conociendo este dato, se conoce el calendario de amortización y la evolución del saldo vivo del empréstito.

Y el importe de la cuota periódica se calcula:

Ms = (A * Vn) * (1 + i)^s

Si a la cuota del periodo se le resta la parte de amortización de capital (A * Vn) hallamos los intereses pagados en ese periodo.

Veamos un ejemplo:

Se emiten obligaciones por 50.000 millones de ptas. (1.000.000 de títulos, con un valor nominal de 50.000 ptas. cada uno). La duración es de 5 años y el tipo de interés es el 6%. Se amortiza el mismo número de títulos en cada periodo y los intereses se pagan en el momento de amortización de cada título.

Calcular el cuadro de amortizaciones.

El número de títulos que se amortiza en cada periodo:

A = n / p

luego, A = 1.000.000 / 5

luego, A = 200.000 títulos en cada periodo

Veamos el cuadro de amortizaciones:

 

Nº de títulos

Cuota periódica

Saldo vivo del empréstito

Periodo

Vivos

Amortizados en periodo

Amortiz. acumulados

Amortiz. de capital

Intereses

Cuota periódica

 

 

 

 

(Millones ptas.)

(Millones ptas.)

(Millones ptas.)

(Millones ptas.)

año 0

1.000.000

0

0

0

0

0

50.000

año 1

800.000

200.000

200.000

10.000

600

10.600

40.000

año 2

600.000

200.000

400.000

10.000

1.236

11.236

30.000

año 3

400.000

200.000

600.000

10.000

1.910

11.910

20.000

año 4

200.000

200.000

800.000

10.000

2.625

12.625

10.000

año 5

0

200.000

1.000.000

10.000

3.382

13.382

0

 

 Lección 59: Obligaciones convertibles

Son aquellas obligaciones que permiten al inversor (obligacionista)  decidir en un momento futuro entre mantener dichas obligaciones o convertirlas en acciones de la sociedad.

En el momento de emitir estas obligaciones se fija el sistema que se utilizará para determinar la relación de conversión (es decir, número de acciones a recibir por cada obligación), así como en que momento(s) futuro(s) el obligacionista podrá optar por acudir a la conversión.

La relación de conversión se determina:

Valor de conversión de la obligación / valor de la acción

a) Valor de conversión de la obligación: suele ser su valor nominal.

b) Valor de la acción: se suele fijar el precio medio de la acción durante un número determinado de días antes de la fecha de conversión. A efectos de hacer la conversión más atractiva para el inversor, a este precio medio se le suele aplicar un descuento (10-20%).

Para ver si interesa o no acudir a la conversión hay que comparar los dos valores siguientes:

a) Valor de mercado de la obligación en la fecha de la conversión

b) Valor de transformación: es el valor de mercado en dicha fecha del número de acciones que se recibe por cada obligación.

Si el valor de mercado de la obligación es mayor, no interesa acudir a la conversión. Si es menor, si interesa acudir.

La diferencia entre el valor de mercado de la obligación y el valor de transformación se denomina "prima de conversión".

Ejemplo:

Se emiten obligaciones convertibles de 10.000 ptas de nominal cada título, a un plazo de 5 años. Se establece la posibilidad de convertirlas en acciones al final del 1º año. La relación de conversión será:

Obligación: por su valor nominal

Acción: cotización media del último trimestre, con descuento del 15%.

Llegado el 31 de diciembre, la cotización media de la acción en el último trimestre ha sido de 150 ptas. (su cotización al 31/12 es de 180 ptas.). Por su parte, el valor de mercado de la obligación asciende a 11.150 ptas.

Determinar:

a) Relación de conversión

b) Prima de conversión

c) ¿Interesa acudir a la conversión?

Solución:

a) Relación de conversión:

Valor de conversión de la obligación / valor de la acción

Luego, Relación de intercambio = 10.000 / (150 * 0,85)

Luego, Relación de intercambio = 78,43 acciones

Es decir, por cada obligación se recibirán 78,43 acciones.

b) Prima de conversión:

Valor de transformación (180 * 78,43) 

=

14.117,4 ptas.

Valor de mercado de la obligación

=

11.150,0 ptas.

Prima de conversión

=

2.967,4 ptas.

c) Como la prima de conversión es positiva, conviene acudir a la misma.

 

 Lección 60: Rentabilidad de un empréstito

La rentabilidad efectiva de una obligación para el obligacionista (inversor) es el tipo de interés que iguala en el momento inicial el valor de la prestación (precio pagado por dicho título) y el valor de la contraprestación (intereses recibidos y amortización final).

En aquellas obligaciones que se amortizan por sorteo y que presentan distintos tipos de ventajas (primas de emisión, de amortización, etc.), la rentabilidad efectiva  va a depender del momento en que se amortice cada título.

Normalmente, la rentabilidad será superior en aquellos títulos que se amorticen antes, ya que el efecto positivo de las distintas primas de emisión y/o de amortización será más significativo.

En inversor no va a saber a priori cual será la rentabilidad efectiva de sus títulos, pero si puede conocer como evolucionará ésta en función de en qué momento sean amortizados.

Para calcular la rentabilidad de un título se aplica la ecuación de equivalencia financiera:

Pc = (Vn * i *Ao) + (Pa * (1 + ie)^-k)

Siendo Pc el precio de compra del título

Siendo (Vn * i *Ao) el valor actualizado de los intereses recibidos del empréstito

Siendo ie la tasa de rentabilidad efectiva

Siendo Pa el precio de amortización

Ejemplo:

Se emiten obligaciones de 10.000 ptas. cada título, con el 7% de interés y vencimiento en 5 años. Tiene un descuento en la suscripción del 5% (se compran los títulos por 9.500 ptas.) y una prima de amortización del 2% (se cobra en el vencimiento 10.200 ptas. por cada título). Los títulos se amortizan mediante sorteos anuales.

Calcular el rendimiento efectivo de esta obligación.

Solución:

Se aplica la fórmula de equivalencia financiera:

Pc = (Vn * i *Ao) + (Pa * (1 + ie)^-k)

Luego, 9.500 = (10.000 * 0,07 * Ao) + (10.200 * (1+ie)^-k)

Si la obligación se amortizara en el primer año, la ecuación de equivalencia financiera sería:

9.500 = (10.000 * 0,07 * ((1 - (1 + ie)^-1)/ie)) + (10.200 * (1 + ie)^-1)

Si la obligación se amortizara en el 2 año. esta ecuación quedaría de la forma:

9.500 = (10.000 * 0,07 * ((1 - (1 + ie)^-2)/ie)) + (10.200 (1 + ie)^-2)

Y así sucesivamente, hasta el año 5. Podemos completar el siguiente cuadro, indicando como evoluciona la rentabilidad efectiva según el momento de amortización de los títulos:

Periodo

Rentabilidad efectiva

 

 

año 1

14,737%

año 2

10,863%

año 3

9,603%

año 4

8,980%

año 5

8,609

La rentabilidad calculada es bruta (no considera el coste impositivo). Para tener en cuenta esto, sólo hay que sustituir los ingresos brutos por los ingresos netos (después de impuestos).

 

 Lección 61: Obligación con bonificación fiscal

Algunas obligaciones incorporan ventajas fiscales (bonificaciones). Estas bonificaciones fiscales funcionan de la siguiente manera:

La retención fiscal que se aplica por el cobro de intereses (25% en España) se reduce sustancialmente (se aplica tan sólo un 1,25%).

Sin embargo, cuando el obligacionista realiza su declaración de impuestos se considera como si se le hubiera retenido el 25% ordinario.

Se denomina rentabilidad financiera-fiscal a la rentabilidad que tendría que ofrecer una obligación de similares características, pero sin bonificación fiscal, para que el inversor obtuviera la misma rentabilidad efectiva.

En este tipo de obligaciones bonificadas el inversor tiene dos fuentes de beneficios:

El cobro periódico de sus intereses

El ahorro fiscal que obtiene

Este ahorro impositivo se produce aproximadamente un año después del cobro de los intereses, ya que la declaración de impuestos se realiza al año siguiente (en España),

Para calcular la rentabilidad efectiva de este tipo de obligaciones, se aplica la ecuación de equivalencia financiera:

Pc = ((1 - rb) * I * Ao) - ((t - ro) * I * d/Ao) + (C * (1 + ie)^-n)

Siendo Pc el precio de adquisición de la obligación

Siendo rb el tipo de retención bonificado que se aplica

Siendo I el importe de los intereses periódicos que se perciben

Siendo Ao el valor actual de una renta pospagable

Siendo t el tipo impositivo del obligacionista

Siendo r0 el tipo ordinario de retención (25% en España)

Siendo d/Ao el valor actual de una renta pospagable diferida un periodo

Siendo C el importe de amortización de la obligación

Siendo ie el tipo de rentabilidad efectiva

La variable que hay que estimar y que resuelve esta ecuación es "ie", que es la rentabilidad efectiva que obtiene el inversor en la operación.

El término (1 - rb) * I * Ao determina el valor actual de los intereses recibidos, deducida la retención efectuada.

El término (t - ro) * I * d/Ao determina el valor actual de los impuestos que tiene que pagar el obligacionista por los intereses percibidos. Se calcula multiplicando el importe de los intereses por la diferencia entre su tipo impositivo (t) menos la retención ordinaria (ro = 25%). Esta serie está  diferida 1 año, ya que la declaración de impuestos se realiza al año siguiente.

La expresión C * (1 + ie)^-n  determina el valor actual del importe percibido en la amortización del título.

Una vez calculada la rentabilidad efectiva "ie" de la obligación bonificada, se calcula su rentabilidad financiera-fiscal resolviendo la siguiente ecuación:

Pc = ((1 - ro) * I * Ao) - ((t - ro) * I * d/Ao) + (C * (1 + ie)^-n)

Se trata de calcular la rentabilidad nominal que tendría que ofrecer una obligación de las mismas características, que no ofreciera ventaja fiscal, para que el inversor obtuviera la misma rentabilidad efectiva que en el caso de la obligación subordinada.

En la ecuación anterior se aplica el mismo "ie" que se ha obtenido en la obligación bonificada. En esta ecuación la variable a despejar es I (o sea, los intereses que tendría que percibir para obtener la rentabilidad efectiva  "ie").

 

 Lección 62: Obligación con bonificación fiscal: Ejercicio (I)

Ejemplo:

Calcular la rentabilidad financiera-fiscal de una obligación de 10.000 ptas. de nominal y plazo de 5 años, con un tipo de interés del 8%, si se le aplica una retención del 1,25%, en lugar del 25% ordinario.

El tipo impositivo del obligacionista es del 38%.

Solución:

Se calcula la rentabilidad efectiva de esta obligación bonificada:

Pc = ((1 - rb) * I * Ao) - ((t - ro) * I * d/Ao) + (C * (1 + ie)^-n)

 

Luego, 10.000 = ((1 - 0,0125) * 800 * Ao) - ((0,38 - 0,25) * 800 * d/Ao) + (10.000 * (1 + ie)^-5)

 

Los intereses (800) se han calculado multiplicando el nominal (10.000) por el tipo de interés (8%)

Ao es igual a (1 - (1 + ie)^-5) / ie 

d/Ao es igual a (1 + ie)^-1 * ((1 - (1 + ie)^-5)/ ie)  

 

Luego, ie = 6,927%

 

Por lo tanto, la rentabilidad efectiva de esta obligación bonificada es del 6,927%

A continuación se calcula su rentabilidad financiera-fiscal:

Pc = ((1 - ro) * I * Ao) - ((t - ro) * I * d/Ao) + (C * (1 + ie)^-n)

 

Luego, 10.000 = ((1 - 0,25) * I * Ao) - ((0,38 - 0,25) * I * d/Ao) + (10.000 * (1 + 0,06927)^-5)

 

Hay que despejar el valor de I que resuelve esta ecuación

 

luego, I = 1.102,29 ptas.

 

Por lo tanto, para que una obligación de similares características, pero sin bonificación fiscal, ofrezca la misma rentabilidad efectiva (6,927%), tiene que ofrecer unos intereses anuales de 1.102,29 ptas., por lo que su tipo de interés nominal tiene que ser del 11,02% (= 1.102,29 / 10.000) 

 

En definitiva, la rentabilidad financiera-fiscal de la obligación bonificada es del 11,02% (muy superior a su tipo nominal del 8%).

 

Lección 63: Obligación con bonificación fiscal: Ejercicio (II)

Ejemplo:

Se adquiere una obligación de 20.000 ptas. de nominal y plazo de 8 años, con un tipo de interés del 9% y retención del 1,25% (en lugar del 25% ordinario).

Calcular su rentabilidad financiera-fiscal si:

a) El tipo impositivo del obligacionista es del 30%.

b) El tipo impositivo del obligacionista es del 40%.

Solución:

a) Tipo impositivo del 30%.

Se calcula la rentabilidad efectiva de esta obligación bonificada:

Pc = ((1 - rb) * I * Ao) - ((t - ro) * I * d/Ao) + (C * (1 + ie)^-n)

 

Luego, 20.000 = ((1 - 0,0125) * 1.800 * Ao) - ((0,30 - 0,25) * 1.800 * d/Ao) + (20.000 * (1 + ie)^-8)

 

Los intereses (1.800) se han calculado multiplicando el nominal (20.000) por el tipo de interés (9%)

 

Luego, ie = 8,473%

 

Por lo tanto, la rentabilidad efectiva de esta obligación bonificada es del 8,473%

A continuación se calcula su rentabilidad financiera-fiscal:

Pc = ((1 - ro) * I * Ao) - ((t - ro) * I * d/Ao) + (C * (1 + ie)^-n)

 

Luego, 20.000 = ((1 - 0,25) * I * Ao) - ((0,30 - 0,25) * I * d/Ao) + (20.000 * (1 + 0,08473)^-8)

 

Hay que despejar el valor de I que resuelve esta ecuación

 

luego, I = 2.407,32 ptas.

 

Por lo tanto, para que una obligación de similares características, pero sin bonificación fiscal, ofrezca la misma rentabilidad efectiva (8,473%), tiene que ofrecer unos intereses anuales de 2.407,32 ptas., por lo que su tipo de interés nominal tiene que ser del 12,04% (= 2.407,32 / 20.000) 

 

En definitiva, la rentabilidad financiera-fiscal de la obligación bonificada es del 12,04% (muy superior a su tipo nominal del 9%).

b) Tipo impositivo del 40%.

Se calcula la rentabilidad efectiva de esta obligación bonificada:

20.000 = ((1 - 0,0125) * 1.800 * Ao) - ((0,40 - 0,25) * 1.800 * d/Ao) + (20.000 * (1 + ie)^-8)

 

Luego, ie = 7,633%

A continuación se calcula su rentabilidad financiera-fiscal:

Luego, 20.000 = ((1 - 0,25) * I * Ao) - ((0,40 - 0,25) * I * d/Ao) + (20.000 * (1 + 0,07633)^-8)

 

luego, I = 2.500,01 ptas.

 

Por lo tanto, para que una obligación de similares características, pero sin bonificación fiscal, ofrezca la misma rentabilidad efectiva (7,633%), tiene que ofrecer unos intereses anuales de 2.501,01 ptas., por lo que su tipo de interés nominal tiene que ser del 12,50% (= 2.501,01 / 20.000) 

 

En este supuesto, la rentabilidad financiera-fiscal de la obligación bonificada es del 12,50% (muy superior a su tipo nominal del 9%).

 

 Lección 64: Valoración de una inversión (I)

Una inversión es una operación financiera definida por una serie de desembolsos que se estima que van a generar una corriente futura de ingresos. Existen diferentes métodos para valorar el atractivo de un proyecto de inversión, entre los que vamos a estudiar los siguientes:

VAN: Valor actual neto

Relación entre VAN e inversión

TIR

Pay back

Pay back con flujos actualizados

a) VAN

Mide el valor actual de los desembolsos y de los ingresos, actualizándolos al momento inicial y aplicando un tipo de descuento en función del riesgo que conlleva el proyecto.

Por ejemplo: no se asume el mismo riesgo invirtiendo en Deuda del Estado, en una compañía eléctrica o en una nueva empresa de Internet. Por lo tanto, para valorar estos tres proyectos hay que utilizar tasas de descuentos diferentes que reflejen los distintos niveles de riesgo.

Como las inversiones son normalmente a largo plazo, para actualizar los distintos flujos al momento inicial se utiliza la ley de descuento compuesto.

Si el VAN obtenido es positivo el proyecto es interesante de realizar. Por el contrario, si el VAN es negativo, el proyecto hay que descartarlo.

Ejemplo: Un proyecto de inversión exige un desembolso inicial de 10 millones ptas. y se espera que va a generar beneficios entre el 1º y el 6º año. El tipo de descuento que se aplica a proyectos de inversión con riesgos similares es del 10%. Calcular el VAN:

Año

Desembolso

Ingresos

 

Flujo descontado

 

 

 

 

 

0

-10,000

0

- 10,000

-10,000

1

0

0,600

600* (1,1)^-1

0,545

2

0

1,000

1,000* (1,1)^-2

0,826

3

0

2,000

2,000* (1,1)^-3

1,502

4

0

4,000

4,000* (1,1)^-4

2,732

5

0

7,000

7,000* (1,1)^-5

4,346

6

0

3,000

3,000* (1,1)^-6

1,693

 

 

 

 

 

 

 

 

VAN

1,646

 El VAN es positivo (1,646 millones de pesetas), luego la inversión es aceptable.

Cuando hay varios proyectos alternativos de inversión se elige aquel que presenta el VAN más elevado, siempre y cuando sean proyectos que conlleven inversiones similares, ya que si los importes de las inversiones fueran muy diferentes, el criterio VAN es poco operativo, ya que no mide la rentabilidad obtenida por cada peseta invertida.

b) Porcentaje VAN / Inversión

Este método mide la rentabilidad que se obtiene por cada peseta invertida, con lo que soluciona la limitación que hemos señalado en el método VAN.

Se elegirá aquel proyecto que presente este ratio más elevado.

Ejemplo: Hallar el ratio "VAN/Inversión" del ejemplo anterior

Ratio = Van / Inversión = 1,646 / 10,0 = 16,46%

Por lo tanto, se obtiene una rentabilidad del 16,46% (es decir, 0,1646 ptas. de VAN por cada peseta invertida).

c) Tasa de rendimiento interno (TIR)

Este método consiste en calcular la tasa de descuento que hace cero el VAN. Un proyecto es interesante cuando su tasa TIR es superior al tipo de descuento exigido para proyectos con ese nivel de riesgo.

Ejemplo: Calcular la tasa TIR del ejemplo anterior y ver si supera la tasa de descuento del 10% exigible a proyectos con ese nivel de riesgo.

VAN = 0

Luego, -10.000 + 0,600/(1+ie) + 1.000/(1+ie)^2 + 2.000/(1+ie)^3 +4.000/(1+ie)^4 +7.000/(1+ie)^5 +3.000/(1+ie)^6 = 0

Luego, ie = 14,045%

Luego la tasa TIR de esta operación es el 14,045%, superior al 10%, luego este proyecto de inversión es interesante de realizar.

Entre varios proyectos alternativos de inversión se elegirá aquel que presente la tasa TIR más elevada. De todos modos, si los diversos proyectos analizados presentan niveles de riesgos muy diferentes, primero hay que ver hasta que nivel de riesgo se está dispuesto a asumir, y a continuación, entre los proyectos seleccionados, se elige el que presente la tasa TIR más elevada.

 

Lección 65: Valoración de una inversión (II)

d) Pay-back

Mide el número de años que se tarda en recuperar el importe invertido. Se trata de calcular en que momento los ingresos percibidos cubren los gastos realizados.

Ejemplo: Calcular el pay-back en el ejemplo que venimos analizando

Año

Desembolso

Ingresos

 

 

 

0

-10,000

0

1

0

0,600

2

0

1,000

3

0

2,000

4

0

4,000

5

0

7,000

6

0

3,000

El pay-back es de 5 años (a lo largo de este año se llega a recuperar los 10 millones invertidos).

Este método de valoración presenta dos limitaciones muy importantes:

a) No se actualizan los flujos de dinero (no tiene en cuenta el valor temporal del dinero), por lo que da el mismo tratamiento a cualquier importe con independencia de en qué momento se genera.

b) Además, el Pay-back sólo se fija en los beneficios que hacen falta hasta cubrir el importe de la inversión, sin valorar los ingresos que se pueden producir después.

Ejemplo: Se analizan 2 proyectos de inversión de 5 millones cada uno. El flujo de beneficios que genera cada proyecto se recoge en el siguiente cuadro. Aplicando el método del "pay back" ver cual sería el proyecto más interesante.

Periodo

Proyecto A

Proyecto B

 

 

 

0

-5,000

-5,000

1

2,000

0,500

2

2,000

1,000

3

2,000

1,500

4

2,000

2,000

5

 

4,000

6

 

8,000

Aplicando este método habría que elegir el proyecto A (se recupera el importe de la inversión más rápidamente), sin embargo el total de ingresos es notablemente superior en el proyecto B.

De hecho, si se analiza el VAN (aplicando una tasa de descuento del 10%) y el TIR de ambos proyectos, el proyecto B es preferible:

 

Proyecto A

Proyecto B

 

 

 

VAN

1,340

5,773

TIR

21,86%

30,57%

e) Pay-back (con actualización)

El funcionamiento es el mismo que en el método del Pay-back, con la diferencia de que se actualizan los importes, superando, de esta manera, una de las limitaciones que presenta el método del "pay back".

Sin embargo, sigue manteniendo la limitación de no valorar los ingresos que se originan después de haber recuperado el importe de la inversión.

Ejemplo: Veamos el ejemplo anterior, aplicando una tasa de descuento del 10%:

Año

Proyecto A

Proyecto B

 

Importes

Importes actualizados

Importes

Importes actualizados

 

 

 

 

 

0

-5,000

-5,000

-5,000

-5,000

1

2,000

1,818

0,500

0,455

2

2,000

1,653

1,000

0,826

3

2,000

1,503

1,500

1,127

4

2,000

1,366

2,000

1,366

5

 

 

4,000

2,484

6

 

 

8,000

4,516

En el proyecto A se alcanza el pay back al comienzo del 4º año, mientras que en el proyecto B se alcanza a mitad del 5º año.

 Lección 66: Valoración de una inversión: Ejercicio

Ejercicios:

Se analizan 3 proyectos alternativos de inversión cuyos flujos de capitales se recogen en el siguiente cuadro:

Año

Proyecto A

Proyecto B

Proyecto C

 

 

 

 

0

-10,000

-30,000

-15,000

1

+1,000

+10,000

+5,000

2

+2,000

+10,000

+10,000

3

+2,000

+10,000

-5,000

4

+2,000

+12,000

+2,000

5

+3,500

 

+5,000

6

+5,000

 

+2,000

7

 

 

+6,500

Las tasas de descuento estimadas para estos proyectos son las siguientes:

 

Proyecto A

Proyecto B

Proyecto C

 

 

 

 

Tasa de descuento

10%

14%

15%

Valorar y ordenar por preferencia estos proyectos utilizando los distintos métodos analizados.

Solución:

Los resultados que se obtienen aplicando los distintos métodos de valoración son los siguientes:

 

Proyecto A

Proyecto B

Proyecto C

 

 

 

 

VAN

+0,426

+0,321

+0,559

VAN / Inversión

4,26%

1,07%

3,73%

TIR

11,15%

14,51%

16,36%

Pay back

4,9 años

3 años

5,6 años

Pay back (acualizado)

5,8 años

3,9 años

6,8 años

 

Se puede ver como los ordenes de preferencia son diferentes:

 

Proyecto A

Proyecto B

Proyecto C

 

 

 

 

VAN

VAN / Inversión

TIR

Cumple

Cumple

Cumple

Pay back

Pay back (acualizado)

El proyecto de inversión más interesante es el Proyecto A, ya que la relación VAN / Inversión es la más elevada (damos preferencia a este método de valoración).

 

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